id
int64 193
24.2k
| subject
stringclasses 4
values | grade
stringclasses 2
values | question
stringlengths 13
515
| options
stringlengths 0
370
| answer
stringlengths 1
603
| solution
stringclasses 162
values | hint
stringclasses 7
values | location
stringclasses 4
values | language
stringclasses 1
value |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
21,894
|
physics
|
12
|
هوائي سيارة طوله متر. تتحرك السيارة بسرعة \(80km/hr\) في اتجاه متعامد على المركبة
الأفقية للمجال المغناطيسي للأرض. فتولدت قوة دافعة كهربية \(4 \times 10^{-4} V\) في الهوائي
احسب المركبة الأفقية للمجال المغناطيسي للأرض.
|
\(18 \times 10^{-6} \text{ Tesla}\)
|
eg
|
arb
|
|||
21,896
|
physics
|
12
|
الحث المتبادل بين ملفين متقابلين هو \(0.1H\)، وكانت شدة التيار المار في أحد الملفين \(4A\)
فإذا هبطت شدة التيار في ذلك الملف إلى الصفر في \(0.01 s\). احسب القوة الدافعة
الكهربية المستحثة المتولدة في الملف الثاني.
|
\(40V\)
|
eg
|
arb
|
|||
21,897
|
physics
|
12
|
ملف مستطيل أبعاده \(0.2m \times 0.4m\) وعدد لفاته 100 لفة يدور بسرعة زاوية ثابتة 500
دورة في الدقيقة في مجال منتظم كثافة فيضه \(0.1T\) ومحور الدوران في مستوى الملف
عمودي على المجال. احسب القوة الدافعة الكهربية العظمى المستحثة المتولدة في الملف.
|
\(41.89 \text{ V}\)
|
eg
|
arb
|
|||
21,915
|
mathematics
|
university
|
أوجد منقول المصفوفة B التالية، ماذا تلاحظ؟
\(B=\begin{bmatrix}0 & 2 & -2\\-2 & 0 & 4\\2&-4&0\end{bmatrix}\)
|
نلاحظ أن: $B^T=-B$ ، ومنه المصفوفة متخالفة.
|
$B^T = \begin{bmatrix}0 & -2 & 2\\2 & 0 & -4\\-2&4&0\end{bmatrix}$
نلاحظ أن: $B^T=-B$ ، ومنه المصفوفة متخالفة.
|
sy
|
arb
|
||
21,916
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفة العقدية:
\(A=\begin{bmatrix}1-2i & 6i\\1 & 1+7i\\-2+4i & 5-3i\end{bmatrix}\)
أوجد المصفوفة المرافقة للمصفوفة A.
|
المصفوفة المرافقة للمصفوفة A هي المصفوفة $\overline{A}$ حيث:
\(\overline{A}=\begin{bmatrix}1+2i & -6i\\1 & 1-7i\\-2-4i & 5+3i\end{bmatrix}\)
|
sy
|
arb
|
|||
21,925
|
physics
|
12
|
جلفانومتر مقاومة ملفه \(0.1 \Omega\) ويقرأ عند نهاية تدريجه تياراً شدته \(5 A\) أردنا زيادة قراءته بمقدار \(10\) أمثال. ما قيمة مقاومة مجزئ التيار اللازمة؟
|
\((0.01 \Omega\))
|
eg
|
arb
|
|||
21,926
|
physics
|
12
|
أميتر مقاومته \(30 \Omega\) احسب قيمة مقاومة مجزىء التيار اللازم لإنقاص حساسية الجهاز إلى الثلث . وما مقدار المقاومة الكلية المكافئة للأميتر والمجزئ حينئذ؟
|
\((15 \Omega, 10 \Omega\))
|
eg
|
arb
|
|||
21,927
|
physics
|
12
|
جلفانومتر مقاومته \(54 \Omega\) إذا وصل بمجزئ للتيار ( أ ) يمر في الجلفانومتر \(0.1\) من التيار الكلي، أما إذا وصل بمجزئ آخر (ب) فإن التيار الذي يمر فيه يصبح \(0.12\) من التيار الكلي، أوجد مقدار كل من المقاومتين ( أ ) ، (ب).
|
\((6 \Omega، 7.63 \Omega\))
|
eg
|
arb
|
|||
21,930
|
physics
|
12
|
مللي أميتر مقاومته \(5 \Omega\) أقصى تيار يتحمله ملفه \(15 mA\) يراد تحويله إلى أوميتر باستخدام عمود قوته الدافعة الكهربية \(1.5 V\) ومقاومته الداخلية \(1 \Omega\) ، احسب قيمة المقاومة العيارية اللازمة والمقاومة الخارجية التي تجعل مؤشره ينحرف إلى \(10 mA\) وكذلك شدة التيار المار به إذا وصل بمقاومة خارجية مقدارها \(400 \Omega\)
|
\((3 mA، 50 \Omega، 94 \Omega\))
|
eg
|
arb
|
|||
21,951
|
physics
|
12
|
أحسب طاقة فوتون طوله الموجى 700 nm ثم احسب كتلته وكمية حركته.
|
(2.58x10⁻¹⁹J , 0.29x10⁻³⁵kg , 0.86x10⁻²⁷kgm/s)
|
eg
|
arb
|
|||
21,952
|
physics
|
12
|
أحسب كتلة الفوتونات فى حالة X ray وفى حالة γ ray إذا كان الطول الموجى لأشعة X 100nm وأشعة γ 0.05nm
|
(mₓ=2.2 x10⁻³⁵kg , mγ=4.4x10⁻³³kg)
|
eg
|
arb
|
|||
21,954
|
physics
|
12
|
محطة إذاعة تبث على موجة ترددها 92.4MHz احسب طاقة الفوتون الواحد المنبعث من هذه المحطة، ثم احسب عدد الفوتونات المنبعثة في الثانية إذا كانت قدرة المحطة 100 kW
|
(E=612.15x10⁻²⁸J , n=163x10²⁹ photon/sec)
|
eg
|
arb
|
|||
21,956
|
physics
|
12
|
إذا كانت أقل مسافة يمكن رصدها بمجهر إلكترونى 1nm احسب سرعة الإلكترون ومن ثم جهد المصعد.
|
(Velocity=0.728x10⁶m/s , V= 1.5 Volt)
|
eg
|
arb
|
|||
21,962
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفة العقدية:
\(A=\begin{bmatrix}3-3i & 2-5i&-7i\\-4i & -2+6i&9\end{bmatrix}\)
أوجد مرافق منقول المصفوفة A.
|
\(A^*=(\overline{A})^T=\begin{bmatrix}3+3i & 4i\\2+5i&-2-6i\\7i & 9\end{bmatrix}\)
|
مرافق منقول المصفوفة A هي المصفوفة $A^*$ حيث: $A^*=(\overline{A})^T$
أي نقوم بإيجاد مرافق المصفوفة A أي $\overline{A}$.
\(\overline{A}=\begin{bmatrix}3+3i&2+5i&+7i\\+4i & -2-6i&9\end{bmatrix}\)
ثم نأخذ منقول المرافق أي:
\(A^*=(\overline{A})^T=\begin{bmatrix}3+3i & 4i\\2+5i&-2-6i\\7i & 9\end{bmatrix}\)
|
sy
|
arb
|
||
21,963
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفات:
$C=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\2 & -3 & 1\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix} 1 & -2\\3 & 0\end{bmatrix} \qquad A=\begin{bmatrix} 2 & 1&-1\\3 & -2&4\end{bmatrix}$
المطلوب: ١ - اختر العملية الممكنة مع التعليل.
٢ - أوجد الناتج في العملية الممكنة.
$A + C \qquad A+B$
|
يمكن حساب A + C لأنهما من نفس المرتبة.
$A + C =\begin{bmatrix} 1 & 3&2\\5 & -5&5\end{bmatrix}$
|
لا يمكن حساب A + B لأنهما من مرتبتين مختلفتين.
يمكن حساب A + C لأنهما من نفس المرتبة.
$A + C =\begin{bmatrix} 2 & 1&-1\\3 & -2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\2 & -3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 3&2\\5 & -5&5\end{bmatrix}$
|
sy
|
arb
|
||
22,002
|
physics
|
12
|
إذا كان تركيز الإلكترونات أو الفجوات فى السيليكون النقى \(1 \times 10^{10} cm^{-3}\) اضيف
إليه فوسفور بتركيز \(10^{12} cm^{-3}\)
احسب تركيز الإلكترونات والفجوات في هذه الحالة.
هل السيليكون يصبح n-type أو p-type ؟
|
(السيليكون في هذه الحالة يصبح n-type)
\((n=10^{12} cm^{-3} \space p=10^{8}cm^{-3})\)
|
eg
|
arb
|
|||
22,006
|
physics
|
12
|
دايود يمكن تمثيله بمقاومة في الاتجاه الأمامي \(100 \Omega\) وفى الاتجاه العكسى مالا نهاية.
وضعنا عليه فرق جهد \(+5V\) ثم عكسناه إلى \(-5V\) - ماذا يكون التيار في كل حالة؟
|
\((50mA, O)\)
|
eg
|
arb
|
|||
22,102
|
mathematics
|
university
|
إذا كانت $\;A=\begin{bmatrix}2 & 1\\3 & -1\end{bmatrix}$ أثبت أن:
$A^2 - A - 5I = 0$
|
$A^2 - A - 5I = 0$ وهو المطلوب إثباته.
|
$A^2 = A . A = \begin{bmatrix}2 & 1\\3 & -1\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}2 & 1\\3 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & 1\\3 & 4\end{bmatrix}$
$A^2 - A - 5I = \begin{bmatrix}7 & 1\\3 & 4\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}2 & 1\\3 & -1\end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad = \begin{bmatrix}7 & 1\\3 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-2 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-5 & 0\\0 & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix} $
$⇒A^2 - A - 5I = 0$
|
sy
|
arb
|
||
22,106
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفة $ A= \begin{bmatrix}1 & -2 & 9\\-2 & 4 & 6\\9 & 6 & 1\end{bmatrix}$
أثبت أن المصفوفة متناظرة.
|
المصفوفة متناظرة وهو المطلوب إثباته.
|
حتى تكون المصفوفة متناظرة يجب أن يكون: $A^T = A$
$A^T = \begin{bmatrix}1 & -2 & 9\\-2 & 4 & 6\\9 & 6 & 1\end{bmatrix} = A$
ومنه المصفوفة A متناظرة.
|
sy
|
arb
|
||
22,107
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفة $ A = \begin{vmatrix}0 & -2 & 8\\2 & 0 & 4\\-8 & -4 & 0\end{vmatrix}$
أثبت أن المصفوفة A متخالفة (أو متناظرة عكسيًا).
|
$-A^T = A$ ومنه المصفوفة A متخالفة (متناظرة عكسيًا) وهو المطلوب إثباته.
|
حتى تكون المصفوفة متخالفة يجب أن يتحقق: $-A^T = A$
$ A^T = \begin{bmatrix}0 & 2 & -8\\-2 & 0 & -4\\8 & 4 & 0\end{bmatrix}$
$-A^T = (-1) A^T = \begin{bmatrix}0 & -2 & 8\\2 & 0 & 4\\-8 & -4 & 0\end{bmatrix} ⇒ - A^T = A$
والمصفوفة متخالفة.
|
sy
|
arb
|
||
22,133
|
physics
|
12
|
إذا كانت شدة التيار الفعالة في دائرة \(10A\) وفرق الجهد الفعال هو \(240 V\) فما هي النهاية العظمى لكل من التيار وفرق الجهد ؟
|
$\text{I}_{max} = 14.14 \, \text{A}$
$\text{V}_{max} = 339.5 \, \text{V}$
|
$\text{I}_{eff} = 0.707\, \text{I}_{max}$
$\text{10} = 0.707\, \text{I}_{max}$
ومنها $\text{I}_{max} = \frac{10}{0.707} = 14.14 \, \text{A}$
$\text{V}_{eff} = 0.707\, \text{V}_{max}$
$\text{240} = 0.707\, \text{I}_{max}$
$\text{V}_{max} = \frac{240}{0.707} = 339.5 \, \text{V}$
|
eg
|
arb
|
||
22,160
|
physics
|
12
|
ملف عدد لفاته 80 لفة مساحة مقطعة \(0.2 m^2\) معلق عموديا على مجال منتظم. متوسط القوة الدافعة المستحثة \(2V\) عندما يدور الملف 1/4 دورة خلال \(0.5s\) احسب كثافة الفيض المغنطيسي.
|
(0.0625 Tesla)
|
eg
|
arb
|
|||
22,161
|
physics
|
12
|
إذا كانت كثافة الفيض المغنطيسي بين قطبي مغناطيسي مولد كهربي هي \(0.7Tesla\). وكان طول ملف الجهاز \(0.4m\) لكي تتولد قوة دافعة كهربية مستحثة في هذا السلك تساوي واحد فولت احسب سرعة حركته.
|
(3.57 m/sc)
|
eg
|
arb
|
|||
22,162
|
physics
|
12
|
ملف دينامو يتكون من 800 لفة مساحة مقطعة \(0.25m^2\) يدور بمعدل 600 دورة كل دقيقة في مجال كثافة فيضه \(0.3Tesla\) احسب القوة الدافعة المستحثة عندما يصنع العمودي على الملف زاوية \(30^\circ\) مع الفيض المغناطيسي.
|
(6.28V)
|
eg
|
arb
|
|||
22,163
|
physics
|
12
|
ساق من النحاس طولها \(30cm\) تتحرك عموديا على مجال مغناطيسي كثافة فيضه \(0.8 Tesla\) بسرعة \(0.5m/s\) احسب القوة الدافعة الكهربية المستحثة في هذه الساق.
|
(0.12V)
|
eg
|
arb
|
|||
22,164
|
physics
|
12
|
هوائي سيارة طوله متر. تتحرك السيارة بسرعة \(80Km/hr\) في اتجاه متعامد على المركبة الأفقية للمجال المغناطيسي للأرض. فتولدت قوة دافعة كهربية \(4 \times 10^{-4}\) في الهوائي
احسب المركبة الأفقية للمجال المغناطيسي للأرض.
|
\((18 \times 10^{-6} Tesla\))
|
eg
|
arb
|
|||
22,166
|
physics
|
12
|
الحث المتبادل بين ملفين متقابلين هو \(0.1 H\)، وكانت شدة التيار المار في أحد الملفين \(4A\) في فإذا هبطت شدة التيار في ذلك الملف إلى الصفر في \(0.01 s\). احسب القوة الدافعة الكهربية المستحثة المتولدة في الملف الثاني.
|
(40V)
|
eg
|
arb
|
|||
22,167
|
physics
|
12
|
ملف مستطيل أبعاده \(0.4m \times 0.2m\) وعدد لفاته 100 لفة يدور بسرعة زاوية ثابتة 500 دورة في الدقيقة في مجال منتظم كثافة فيضه \(0.1T\) ومحور الدوران في مستوى الملف عمودي على المجال. احسب القوة الدافعة الكهربية العظمى المستحثة المتولدة في الملف.
|
(41.89 V)
|
eg
|
arb
|
|||
22,168
|
physics
|
12
|
محول خافض كفاءته %90 وجهد ملفه الابتدائي \(200V\) وجهد ملفه الثانوي \(9V\) فإذا كانت شدة التيار في الملف الابتدائي \(0.5A\) وعدد لفات الملف الثانوي 90 لفة، فما هي شدة التيار في الملف الثانوي وعدد لفات الملف الابتدائي ؟
|
(10 A, لفة 1800)
|
eg
|
arb
|
|||
22,169
|
physics
|
12
|
محول خافض يعمل على مصدر قوته الدافعة الكهربية \(2500V\) يعطي ملفه الثانوي تيار شدته \(80A\)، والنسبة بين عدد لفات الملف الابتدائي وعدد لفات الملف الثانوي 20، وبفرض أن كفاءة هذا المحول %80، احسب القوة الدافعة الكهربية بين طرفي الملف الثانوي وشدة التيار المار في الملف الابتدائي .
|
(100 V, 4A)
|
eg
|
arb
|
|||
22,174
|
mathematics
|
university
|
أوجد بطريقة النشر القيمة العددية للمحدد التالي:
$ det\;A = \begin{vmatrix} -2 & 3 & 6\\4&2&-1\\5&1&3\end{vmatrix}$
|
-101
|
ننشر المحدد حسب السطر الأول:
$\begin{alignat*}{0} det\;A = -2\begin{vmatrix} 2 & -1\\1&3 \end{vmatrix} -3\begin{vmatrix} 4 & -1\\5&3 \end{vmatrix} +6\begin{vmatrix} 4 & 2\\5&1 \end{vmatrix} \\= -2(6 + 1) - 3(12+5) + 6(4-10) = -101 \end{alignat*}$
ننشر المحدد حسب العمود الأول:
$\begin{alignat*}{0} \begin{vmatrix} -2 & 3 & 6\\4&2&-1\\5&1&3\end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 2 & -1\\1&3 \end{vmatrix} -4\begin{vmatrix} 3 & 6\\1&3 \end{vmatrix} +5\begin{vmatrix} 3 & 6\\2&-1 \end{vmatrix} \\= -2(6 + 1) - 4(9-6) + 5(-3-12) = -101 \end{alignat*}$
|
sy
|
arb
|
||
22,285
|
mathematics
|
university
|
أوجد القيمة العددية للمحددين التاليين
$A =\begin{vmatrix}9&3&2\\0&0&0\\5&4&1\end{vmatrix} \qquad B = \begin{vmatrix}0&4&5\\0&1&7\\0&2&2\end{vmatrix} $
|
det A = 0, det B = 0
|
ننشر المحدد A وفق السطر الثاني نجد:
$det A = -0\begin{vmatrix}3&2\\4&1\end{vmatrix} + 0\begin{vmatrix}9&2\\5&1\end{vmatrix} -0\begin{vmatrix}9&3\\5&4\end{vmatrix} = 0$
ننشر المحدد B وفق العمود الأول نجد:
$det B = 0\begin{vmatrix}1&7\\2&2\end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix}4&5\\2&2\end{vmatrix} +0\begin{vmatrix}4&5\\1&7\end{vmatrix} = 0$
|
sy
|
arb
|
||
22,286
|
mathematics
|
university
|
لدينا المحدد A الآتي:
$A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\-2&-3&4\\1&0&-3\end{vmatrix}$
١- أوجد المحدد B الناتج عن المحدد A بمبادلة الأسطر والأعمدة وفق نفس الترتيب.
٢- أوجد det B, det A، ماذا نلاحظ ؟
|
١- $ B = \begin{vmatrix} 1&-2&1\\1&-3&0\\1&4&-3\end{vmatrix}$
٢- $det A= 10\quad det B= 10 $
نلاحظ أن $det A= det B $ ، أي لا تتغير قيمة المحدد إذا بدلنا أسطره بأعمدة والأعمدة بأسطر وفقا لنفس الترتيب
|
١- $ B = \begin{vmatrix} 1&-2&1\\1&-3&0\\1&4&-3\end{vmatrix}$
٢- $det A= 1 (9) - 1(6-4) + 1(3) = 10\quad det B= 1(9) + 2(-3) + 1(4+3) = 10 $
نلاحظ أن $det A= det B $ ، أي لا تتغير قيمة المحدد إذا بدلنا أسطره بأعمدة والأعمدة بأسطر وفقا لنفس الترتيب
|
sy
|
arb
|
||
22,290
|
mathematics
|
university
|
أوجد مقلوب المصفوفة
\(A = \begin{bmatrix}2 & 7 & 3\\3 & 9 & 4\\1 & 5 & 3\end{bmatrix}\)
|
$A^{-1} = \begin{bmatrix}-\frac{7}{3} & 2 & -\frac{1}{3}\\\frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3}\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}$
|
\(\begin{alignat*}{0}det A = \begin{vmatrix}2 & 7 & 3\\3 & 9 & 4\\1 & 5 & 3\end{vmatrix}= \qquad \qquad \; \; \; \; - ١\\2(27-20) - 7(9-4) +3(15-9) == 14 - 35 + 18 = - 3 ≠ 0\\α = \begin{bmatrix}α_{11} & α_{12} & α_{13}\\α_{21} & α_{22} & α_{23}\\α_{31} & α_{32} & α_{33}\end{bmatrix}= \qquad \qquad - ٢\\\begin{bmatrix} +\begin{vmatrix}9 & 4\\5 & 3\end{vmatrix} &-\begin{vmatrix}3 & 4\\1 & 3\end{vmatrix} &+\begin{vmatrix}3 & 9\\1 & 5\end{vmatrix}\\-\begin{vmatrix}7 & 3\\5 & 3\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 3\\1 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 7\\1 & 5\end{vmatrix}\\+\begin{vmatrix}7 & 3\\9 &4\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 3\\3 & 4\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 7\\3 &9\end{vmatrix}\end{bmatrix}\\α = \begin{bmatrix}7 & -5 & 6\\-6 & 3 & -3\\1 & 1 & 3\end{bmatrix} ⇒\\α^T = \begin{bmatrix}7 & -6 & 1\\-5 & 3 & 1\\6 & -3 & -3\end{bmatrix}\\A^{-1} = \frac{α^T}{det A}= -\frac{1}{3} \begin{bmatrix}7 & -6 & 1\\-5 & 3 & 1\\6 & -3 & -3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{7}{3} & 2 & -\frac{1}{3}\\\frac{5}{3} & -1 & -\frac{1}{3}\\-2 & 1 & 1\end{bmatrix}\\\end{alignat*}\)
|
sy
|
arb
|
||
22,306
|
mathematics
|
university
|
:احسب قيمة المحددات
$(a) \begin{vmatrix}-2&3\\4&5 \end{vmatrix} \; (b) \begin{vmatrix}1&0\\0&1 \end{vmatrix} \; (c) \begin{vmatrix}0&5\\5&0 \end{vmatrix} \; (d) \begin{vmatrix}12&-3\\1&2 \end{vmatrix} \; (e) \begin{vmatrix}1&2\cos\alpha\\\cos\alpha&1 \end{vmatrix}$
|
-
|
$$\begin{alignat*}{0} (a) \begin{vmatrix}-2&3\\4&5 \end{vmatrix} = -10 - 12 = -22\; \\(b) \begin{vmatrix}1&0\\0&1 \end{vmatrix} = 1 - 0 \; \\(c) \begin{vmatrix}0&5\\5&0 \end{vmatrix} = 0 - 25 = -25 \; \\(d) \begin{vmatrix}12&-3\\1&2 \end{vmatrix} = 24 + 3 = 27 \; \\(e) \begin{vmatrix}1&2\cos\alpha\\\cos\alpha&1 \end{vmatrix} = 1 - 2 \cos^2\alpha\\\cos^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}\implies e = -\cos2\alpha\end{alignat*}$$
|
sy
|
arb
|
||
22,307
|
mathematics
|
university
|
لتكن المصفوفة:
$A = \begin{bmatrix} 1&-3&5\\4&0&7\\8&14&-3\end{bmatrix}$
احسب كلًا من $detA^T, det A$
|
$ det A =-22\qquad det A^T = -22 $
|
$\begin{alignat*}{0} det A = \begin{vmatrix}1&-3&5\\4&0&7\\8&14&-3\end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix}0&7\\14&-3\end{vmatrix} -(-3)\begin{vmatrix}4&7\\8&-3\end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix}4&0\\8&14\end{vmatrix}\\det A = 1(0-98) + 3(-12 - 56) + 5(56 - 0)\\det A= -98 - 204 + 280 =-22\\A^T=\begin{bmatrix}1&4&8\\-3&0&14\\5&7&-3\end{bmatrix}\\detA^T=\begin{vmatrix}1&4&8\\-3&0&14\\5&7&-3\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}0&14\\7&-3\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}-3&14\\5&-3\end{vmatrix} + 8\begin{vmatrix}-3&0\\5&7\end{vmatrix}\\det A^T = 1 (0 - 98) - 4 (9 - 70) + 8 (-21 - 0)\\det A^T = -98 + 244 - 168 = -22\end{alignat*} $
ومنه $det A = det A^T$
|
sy
|
arb
|
||
22,484
|
chemistry
|
12
|
الدور الذي يقوم به الغاز المائي في فرن مدركس يختلف عن دوره في عملية ( فيشر - تروبش)؟
|
ج لأن الغاز المائى فى فرن مدركس عامل مختزل حيث يختزل أكسيد الحديد III إلى حديد، بينما في عملية (فيشر - تروبش) يتم تحويل الغاز المائي إلى وقود سائل.
|
eg
|
arb
|
|||
22,485
|
chemistry
|
12
|
العملية التي تؤدى الى رفع نسبة الحديد فى الخام بتحويل بعض الشوائب الى غازات هي ...........
|
١) التلبيد
٢) التكسير
٣) التركيز
٤) التحميص
|
٤) التحميص
|
عمليتي التلبيد والتكسير لا ينشأ عنهما تغير نسبة الحديد في الخام لذا نستبعد الاختيار ( أ ) ، (ب)\nعمليتي التركيز و التحميص ينشأ عنهما زيادة نسبة الحديد في الخام ، لكن في عملية التركيز يتم فصل الشوائب في صورتها العنصرية الصلبة لذا نستبعد الاختيار (جـ)
|
eg
|
arb
|
|
22,486
|
chemistry
|
12
|
قطعة من خام الحديد كتلتها \(2 Kg\) مرت بعملية فيزيائية فأصبحت كتلتها \(1.8 Kg\) فأى من هذه العمليات أجريت عليها ؟
|
١) التكسير
٢) التلبيد
٣) التركيز
٤) التحميص
|
٣) التركيز
|
عمليتي التلبيد والتكسير لا ينشأ عنهما تغير كتلة الخام لذا نستبعد الاختيار ( أ ) ، (ب)\nتقل كتلة الخام نتيجة لعمليتي التركيز و التحميص، ولكن الطرق المستخدمة لفصل الشوائب في عملية التركيز تعتبر طرق فيزيائية وميكانيكية، أما التحميص فهو طريقة كيميائية
|
eg
|
arb
|
|
22,487
|
chemistry
|
12
|
من العمليات الفيزيائية التي تمر بها خامات الحديد وتؤدى الى تقليل كتلة الخام ...........
|
١) التحميص
٢) التلبيد
٣) التكسير
٤) التوتر السطحي
|
٤) التوتر السطحي
|
تقل كتلة الخام نتيجة لعملية التحميص ولكنها من العمليات الكيميائية لذا نستبعد الاختيار ( أ )\nعمليتي التلبيد والتكسير لا ينشأ عنهما تغير كتلة الخام لذا نستبعد الاختيار (ب) ، (جـ)\nتقل كتلة الخام نتيجة لعملية التوتر السطحى وهى من الطرق المستخدمة لفصل الشوائب في عملية التركيز وتعتبر طرق فيزيائية وميكانيكية.
|
eg
|
arb
|
|
22,491
|
chemistry
|
12
|
كل ما يلى يهدف إلى تحسين الخواص الفيزيائية لخام الحديد قبل الاختزال ماعدا ............
|
١) أكسدة بعض الشوائب
٢) ربط وتجميع الحبيبات
٣) زيادة نسبة الحديد بالخام
٤) التكسير والطحن لصخور الخام
|
١) أكسدة بعض الشوائب
|
أكسدة بعض الشوائب تتم خلال عملية التحميص وهى مرحلة من مراحل تجهيز الخام الهدف منها تحسين الخواص الكيميائية للخام .
|
eg
|
arb
|
|
22,508
|
chemistry
|
12
|
عنصران (۷) و (X) يقعان في نفس المجموعة فى الجدول الدورى وينتهى التوزيع الإلكتروني لكليهما بالمستوى\nالفرعي 3d . عند خلط العنصرين (۷) تتكون سبيكة ..........
|
١) بينية
٢) استبدالية
٣) بينفلزية
٤) يصعب تحديد نوعها
|
٢) استبدالية
|
حيث أن العنصرين (X) (۷) ينتهى التوزيع الإلكترونى لكليهما بالمستوى الفرعى 3d اذا فهما من عناصر السلسلة\nالانتقالية الأولى، وحيث أنهما يقعا فى نفس المجموعة إذا فهما من عناصر المجموعة 8 ( حديد - كوبلت - نيكل)\nوهي عناصر متشابهة في الخواص الكيميائية وانصاف اقطارها متشابهة لذا فان السبيكة الناتجة من خلط اى\nعنصرين منهما تكون استبدالية
|
(طريقة الاستدلال على الاجابة)
|
eg
|
arb
|
22,768
|
mathematics
|
university
|
أوجد بطريقة مقلوب مصفوفة حل جملة المعادلات الخطية التالية:
$\begin{alignat*}{0}2x_1 + 7x_2 + 3x_3 = 5\\3x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 7\\x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 8\end{alignat*}$
|
$x_1 =-\frac{1}{3} \qquad x_2 = -\frac{4}{3}\qquad x_3 = 5$
|
$\begin{alignat*}{0} A = \begin{bmatrix}2&7&3\\3&9&4\\1&5&3\end{bmatrix}\qquad B = \begin{bmatrix}5\\7\\8\end{bmatrix}\qquad X = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\\ det A = \begin{vmatrix}2&7&3\\3&9&4\\1&5&3\end{vmatrix} = -3 \neq 0\end{alignat*}$
إذًا يوجد للمصفوفة $A$ مقلوب $A^{-1}$.
نوجد مصفوفة المعامل المرافقة:
$\alpha = \begin{bmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&\alpha_{23}\\\alpha_{31}&\alpha_{32}&\alpha_{33}\end{bmatrix}$
$\begin{alignat*}{0}\alpha = \begin{bmatrix}7&-5&6\\-6&3&-3\\1&1&-3\end{bmatrix}\\\alpha^T = \begin{bmatrix}7&-6&1\\-5&3&1\\6&-3&-3\end{bmatrix}\\\alpha^{-1} = \frac{\alpha^T}{det A} = \begin{bmatrix}-\frac{7}{3}&2&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-1&-\frac{1}{3}\\-2&1&1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{7}{3}&2&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-1&-\frac{1}{3}\\-2&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5\\7\\8\end{bmatrix} \end{alignat*}$
نجري عملية الضرب:
$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\\5\end{bmatrix}$
ومن تعريف تساوي مصفوفتين:
$x_1 =-\frac{1}{3} \qquad x_2 = -\frac{4}{3}\qquad x_3 = 5$
|
sy
|
arb
|
||
22,791
|
mathematics
|
university
|
بطريقة (جاردن - غوص) أوجد الحل المشترك لجملة المعادلات الخطية الآتية:
$\begin{alignat*}{0}2x_1 - 5x_2 - 6x_3 = 5\\-3x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 1\\ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = -16 \end{alignat*}$
|
$$x_1 = 1 \qquad \qquad x_2 = -3 \qquad \qquad x_3 = 2$$
|
لإيجاد الحل المطلوب نضع الأمثال في جدول كالتالي:
$$\begin{array}{c|rrr|rr}م& x_1 & x_2 & x_3 & B \\\hline 1& 2 & -5 & -6 & 5 \\2&-3&2 & 5 & +1 \\3& 2 & 4 & -3 & -16\end{array}$$
نعالج أمثال $x_1$ نجعلها مساوية للواحد في المعادلة الأولى وفي بقية المعادلات مساوية للصفر لذلك نقسم عناصر السطر الأول على (2) أمثال $x_1$ في المعادلة الأولى نحصل على السطر التالي:
$1 \qquad \frac{-5}{2} \qquad -3 \qquad \frac{5}{2} \quad (1)$
نضرب عناصر هذا السطر بأمثال $x_1$ في المعادلة الثانية أي (3-) نحصل على السطر:
$-3 \qquad +\frac{15}{2} \qquad +9 \qquad -\frac{15}{2}$
نطرح الناتج من عناصر السطر الثاني نحصل على السطر:
$0 \qquad -\frac{11}{2} \qquad -4 \qquad \frac{17}{2} \quad (2)$
نضرب عناصر السطر (1) بأمثال $x_1$ في المعادلة الثالثة أي (2) نحصل على:
$2 \qquad -5 \qquad -6 \qquad 5$
نطرح الناتج من السطر الثالث نحصل على:
$0 \qquad 9 \qquad 3 \qquad -11 \quad (3)$
نرتب (1) و (2) و (3) بجدول نحصل على الجدول التالي:
$$\begin{array}{c|rrr|rr}م& x_1 & x_2 & x_3 & B \\\hline 1& 1 & -\frac{5}{2} & -\frac{6}{2} & \frac{5}{2} \\2&0&-\frac{11}{2} & -4 & \frac{17}{2} \\3&0&9 & 3 & -21\end{array}$$
نفس الطريقة نعالج $x_2$ نقسم عناصر السطر الثاني من الجدول السابق عل أمثال $x_2$ أي على $-\frac{11}{2}$نحصل على السطر:
$0 \qquad 1 \qquad \frac{8}{11} \qquad -\frac{17}{11} \quad (4)$
نضرب عناصر السطر (4) بأمثال $x_2$ في الجدول السابق أي بـ $(-\frac{5}{2})$ ونطرح الناتج من عناصر السطر الأول نفسه نحصل على السطر:
$0 \qquad -\frac{5}{2} \qquad -\frac{20}{11} \qquad +\frac{85}{22} \quad$
نطرح الناتج من السطر الأول نفسه نحصل على:
$1 \qquad 0 \qquad -\frac{13}{11} \qquad -\frac{15}{11} \quad (5)$
نضرب عناصر السطر (4) بأمثال $x_2$ في السطر الثالث أي بـ 9 ونطرح الناتج من السطر الثالث نفسه نحصل على:
$0 \qquad 0 \qquad \frac{39}{11} \qquad \frac{78}{11} \quad (6)$
نرتب (4) و (5) و(6) بجدول نحصل على الجدول التالي:
$$\begin{array}{c|rrr|rr}م& x_1 & x_2 & x_3 & B \\\hline 1& 1 & 0 & -\frac{13}{11} & -\frac{15}{11} \\2&0&1 & \frac{8}{11} & -\frac{17}{11} \\3&0&0 & \frac{39}{11} & \frac{78}{11}\end{array}$$
بنفس الطريقة السابقة نعالج أمثال $x_3$ لذلك نقسم السطر الثالث في الجدول الأخير على $\frac{39}{11}$ أمثال $x_3$ نحصل على:
$0 \qquad 0 \qquad 1 \qquad 2 \quad (7)$
نجعل أمثال $x_3$ في السطرين الأول والثاني من الجدول السابق مساوية للصفر نضرب السطر (7) بأمثال $x_3$ الموجودة في السطر الأول من الجدول أي $-\frac{13}{11}$ ونطرح الناتج من السطر الأول نفسه نحصل على:
$1 \qquad 0\qquad 0 \qquad 1 \quad (8)$
نضرب السطر (7) بأمثال $x_3$ الموجودة في السطر الثاني من الجدول السابق أي $\frac{8}{11}$ ونطرح الناتج من السطر الأول نفسه نحصل على:
$0 \qquad 1 \qquad 0 \qquad -3 \quad (9)$
نرتب (7) و (8) و (9) بجدول نحصل على الجدول الأخير الآتي:
$$\begin{array}{c|rrr|rr}م& x_1 & x_2 & x_3 & B \\\hline 1& 0 & 0 & 0 & 1 \\2&0&1 &0 & -3 \\3& 0 &0 & 1 & 2\end{array}$$
ومنه نحصل على الحل المشترك الآتي :
$$x_1 = 1 \qquad \qquad x_2 = -3 \qquad \qquad x_3 = 2$$
|
sy
|
arb
|
||
22,796
|
chemistry
|
12
|
اختر أي من المحاليل الآتية له أقل درجة توصيل كهربي؟
|
١) حمض النيتريك 0.1 M
٢) حمض الكبريتيك 0.1 M
٣) حمض الخليك 0.1 في حجم 100ml
٤) حمض الكبريتيك 0.05 في حجم 500 ml
|
٣) حمض الخليك 0.1 في حجم 100ml
|
eg
|
arb
|
||
22,833
|
mathematics
|
university
|
لدينا جملة المعادلات الخطية التالية
$$\begin{alignat*}{0}5x_1 + 3x_2 + 4x_3 = -18\\3x_1 + x_3 = -7\\6x_1 + 3x_2 + 6x_3 = -27\end{alignat*}$$
أوجد الحل المشترك للجملة السابقة باستخدام طريقة مقلوب مصفوفة
|
\begin{array}{c|rrr|rr}x_1 = -1 \\x_2 = 1 \\ x_3 = -4\end{array} \
|
بطريقة مقلوب مصفوفة، مصفوفة الأمثال:
$$\begin{alignat*}{0} A = \begin{bmatrix}5&3&4\\3&0&1\\6&3&6\end{bmatrix}\\ det A = \begin{vmatrix}5&3&4\\3&0&1\\6&3&6\end{vmatrix} = 5(-3) - 3(18-6) + 4(9-0) = -15 \neq 0 \end{alignat*}$$
نوجد مصفوفة المعامل المرافقة
$$\begin{alignat*}{0} α = \begin{bmatrix}α_{11} & α_{12} & α_{13}\\α_{21} & α_{22} & α_{23}\\α_{31} & α_{32} & α_{33}\end{bmatrix} \end{alignat*}$$
: حيث
$$\begin{alignat*}{0} \alpha_{ij} = (-1)^{i+j} det A_{ij}\\ \alpha = \begin{bmatrix}-3&-12&9\\-6&6&3\\3&7&-9\end{bmatrix} \\ \alpha^T = \begin{bmatrix}-3&-6&3\\-12&6&7\\9&3&-9\end{bmatrix}\\ \alpha^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{15}&\frac{6}{15}&\frac{-3}{15}\\\frac{12}{15}&\frac{-6}{15}&\frac{-7}{15}\\\frac{-9}{15}&\frac{-3}{15}&\frac{9}{15}\end{bmatrix}\\X = A^{-1} . B = \begin{bmatrix}\frac{3}{15}&\frac{6}{15}&\frac{-3}{15}\\\frac{12}{15}&\frac{-6}{15}&\frac{-7}{15}\\\frac{-9}{15}&\frac{-3}{15}&\frac{9}{15}\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}-18\\-7\\-27\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\1\\-4\end{bmatrix} \implies \begin{array}{c|rrr|rr}x_1 = -1 \\x_2 = 1 \\ x_3 = -4\end{array} \end{alignat*}$$
|
sy
|
arb
|
||
22,844
|
physics
|
12
|
موصل منتظم المقطع طوله \(4.5 m\) ومقاومته \( 6 \Omega \) وموصل آخر من نفس نوع مادة الموصل الأول طوله \(1.5 m\) ومساحة مقطعه ربع مساحة مقطع الموصل الأول، فإن مقاومة الموصل الثاني تساوى ..................
|
١) \( 12 \Omega \)
٢) \( 10 \Omega \)
٣) \( 8 \Omega \)
٤) \( 4 \Omega \)
|
٣) \( 8 \Omega \)
|
eg
|
arb
|
||
22,845
|
physics
|
12
|
سلكان نحاسيان الأول نصف قطره \( r \) ومعامل التوصيل الكهربى له \( \sigma_1 \) والثاني نصف قطره \( 2r \) ومعامل التوصيل الكهربى له \( \sigma_2 \) ، فعند ثبوت درجة الحرارة أى العلاقات الآتية صحيحة ؟
|
١) \( \sigma_1 = 2 \sigma_2 \)
٢) \( \sigma_1 = 4 \sigma_2 \)
٣) \( \sigma_1 = \sigma_2 \)
٤) \( \sigma_1 = \\frac{\\sigma_2}{4} \)
|
٣) \( \sigma_1 = \sigma_2 \)
|
eg
|
arb
|
||
22,869
|
mathematics
|
university
|
أوجد بطريقة كرامر الحل المشترك لجملة المعادلات الخطية التالية
$$\begin{alignat*}{0} 2x_1 - 5x_2 - 6x_3 = 5\\-3x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 1\\ 2x_1 + 4x_2 - 3x_3 = -16\end{alignat*}$$
|
$$\begin{alignat*}{0} x_1 = 1\\ x_2 = -3\\ x_3 = 2 \end{alignat*}$$
|
مصفوفة الأمثال
$$\begin{alignat*}{0}A =\begin{bmatrix}2&-5&-6\\ -3&2&5\\2&4&-3\end{bmatrix}\\det A = \begin{vmatrix}2&-5&-6\\ -3&2&5\\2&4&-3\end{vmatrix} = 2(-6-20) + 5(9-10) -6(-12 -4) = 39\\ det A_1 = \begin{vmatrix}5&-5&-6\\ 1&2&5\\-16&4&-3\end{vmatrix} = 5(-6-20) + 5(-2+80) -6(4+32)\\= -130 + 385 - 216 = 39 \\ det A_2 = \begin{vmatrix}2&5&-6\\ -3&1&5\\2&-16&-3\end{vmatrix} = 2(48-2) - 5(9-10) - 6(48-2)\\=154 + 5 - 276 = -177\\ det A_3 = \begin{vmatrix}2&-5&5\\ -3&2&1\\2&4&-16\end{vmatrix} = 2(-32-4) + 5(48-2) + 5(-12-4)\\=-72 + 230 - 80 = 78 \end{alignat*}$$
الحل المشترك لجملة المعادلات الخطية
$$\begin{alignat*}{0} x_1 = \frac{det A_1}{det A} = \frac{39}{39} = 1\\ x_2 = \frac{det A_2}{det A} = \frac{-117}{39} = -3\\ x_3 = \frac{det A_3}{det A} = \frac{78}{39} = 2 \end{alignat*}$$
|
sy
|
arb
|
||
22,907
|
mathematics
|
university
|
احسب الزاوية الكائنة بين المتجهين:
$\overrightarrow{V}_1 = \vec{i} - \vec{k} \qquad \qquad \overrightarrow{V}_2 = 2\;\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$
|
$cos\theta = \frac{1}{2\sqrt{3}} $
|
نعلم أن:
$\begin{alignat*}{0}\overrightarrow{V}_1 \cdot \overrightarrow{V}_2 = |\overrightarrow{V}_1| \cdot |\overrightarrow{V}_2| \cos \theta \implies\\\cos\theta = \frac{\overrightarrow{V}_1 \cdot \overrightarrow{V}_2}{|\overrightarrow{V}_1| \cdot |\overrightarrow{V}_2|}\\ \overrightarrow{V}_1 \cdot \overrightarrow{V}_2 = a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2\\ |\overrightarrow{V}_1| = \sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} = 2\\|\overrightarrow{V}_2| = \sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2} = 6 \\\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\end{alignat*}
$
|
sy
|
arb
|
||
22,908
|
mathematics
|
university
|
احسب طويلة الجداء الخارجي للمتجهين
$\overrightarrow{V}_1 = \vec{i} + 2\;\vec{j} + \vec{k} \qquad \qquad \overrightarrow{V}_2 = - \vec{i} + \vec{j} - 2\; \vec{k}$
|
$|\overrightarrow{V}_1 \wedge \overrightarrow{V}_2| = \sqrt{35} $
|
$\begin{alignat*}{0}\overrightarrow{V}_1 \wedge \overrightarrow{V}_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\1&2&1\\-1&1&-2\end{vmatrix} = -5\;\vec i + \vec j + 3\; \vec k\\|\overrightarrow{V}_1 \wedge \overrightarrow{V}_2| = \sqrt{(-5)^2 + (1)^2 + (3)^2} = \sqrt{35} \end{alignat*}$
|
sy
|
arb
|
||
23,216
|
mathematics
|
university
|
الطوب اللبن Green Bricks وقد استخدامه قدماء المصريين في تشييد مبانيهم، ويتكون من الطمى والماء ويضاف إليه ألياف القمح القصيرة (التبن) لماذا؟
|
للحد من التشرخات (Cracking) في الطوبة والناتجة عن عمليات التجفيف وتعطى تماسكا جيداً لها.
|
eg
|
arb
|
|||
23,748
|
physics
|
12
|
ملف حثه الذاتي \(700\, mH\) مهمل المقاومة وصل بمصدر متردد قوته الدافعة الكهربية \( 200 \) فولت وتردده \(50\, Hz\)، احسب شدة التيار المار في الملف.
|
I = 0.9 A
|
\(X_{L} = 2 \pi f L = 2 \times \frac{22}{7} \times 50 \times 0.7 = 220 \Omega\)
\(I = \frac{V}{X_{L}} = \frac{200}{220} = 0.9 A\)
|
eg
|
arb
|
||
23,792
|
mathematics
|
university
|
أثبت أن المتجهات التالية تقع في مستوٍ واحد:
$\begin{alignat*}{0} \vec{a} = -\; \vec i + 3\; \vec j + 2\; \vec k\\ \vec b =-\;\vec i - 6\;\vec j + 2\;\vec k\\\vec c = -3\;\vec i + 12\;\vec j + 6\;\vec k \end{alignat*} $
|
تم المطلوب إثباته: المتجهات الثلاثة تقع في مستوٍ واحد.
|
حتى تقع هذه المتجهات في مستوٍ واحد يجب أن يكون جداؤها المختلط يساوي الصفر:
$\bigg(\vec a, \vec b, \vec c\bigg) = \begin{vmatrix} -1&3&2\\-1&-6&2\\-3&12&6\end{vmatrix} = 0$
وبالتالي المتجهات الثلاثة تقع في مستوٍ واحد.
|
sy
|
arb
|
||
23,793
|
mathematics
|
university
|
بيّن فيما إذا كانت النقاط الأربعة التالية تقع في مستوٍ واحد:
$M_4(1,6,5) \qquad M_3(7,-18,2) \qquad M_2(3,-2,4) \qquad M_1(4,4,9)$
|
نعم، تقع في مستو واحد.
|
نقوم بإيجاد مركبات المتجهات $\overrightarrow{M_1M_4} ،\overrightarrow{M_1M_3} ،\overrightarrow{M_1M_2}$:
$\begin{flalign*} \overrightarrow{M_1M_2} = -\;\vec i -6\;\vec j -5\;\vec k\\\overrightarrow{M_1M_3} = 3\;\vec i - 22\;\vec j - 7\; \vec k\\ \overrightarrow{M_1M_4} = -3\;\vec i -2\;\vec j -4\; \vec k \end{flalign*}$
حتى تقع النقاط الأربعة في مستوٍ واحد يجب أن يكون الجداء المختلط التالي يساوي الصفر ($\overrightarrow{M_1M_4} ،\overrightarrow{M_1M_3} ،\overrightarrow{M_1M_2}$) :
$\bigg(\overrightarrow{M_1M_2} ،\overrightarrow{M_1M_3} ،\overrightarrow{M_1M_4}\bigg) = \begin{vmatrix} -1&-6&-5\\3&-22&-7\\-3&-2&-4 \end{vmatrix} = 0$
|
sy
|
arb
|
||
23,794
|
mathematics
|
university
|
عيّن وسطاء توجيه وجيوب تمام التوجيه للمنحنى المعيّن بالنقطتين $M_1(2,1,0), M_2(4,3,1)$
|
وسطاء التوجيه : $p = 1,\;\; q = 2,\;\; r =1\;\;\;$
جيوب تمام التوجيه هي: $\alpha =\frac{2}{3}\;\;\beta = \frac{2}{3}\;\;\gamma =\frac{1}{3}$
|
١- وسطاء التوجيه هي مركبات المتجه $\overrightarrow{M_1M2}$ أي:
$\begin{align}p = x_2 - x_1 = 2\\ q = y_2 - y_1 = 2\\ r = z_2 - z_1 = 1\end{align}$
٢- جيوب تمام التوجيه هي:
$\begin{align} \alpha = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}} = \frac{2}{\sqrt{4 + 4 + 1}} =\frac{2}{3}\\\beta = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}} =\frac{2}{3}\\\gamma = \frac{r}{\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}} =\frac{1}{3} \end{align}$
|
sy
|
arb
|
||
23,795
|
mathematics
|
university
|
لتكن M(1,2,-1) نقطة في الفراغ منسوبة إلى الجملة oxyz عيّن إحداثيات هذه النقطة بالنسبة لجملة جديدة ناتجة عن الأولى بانسحاب معيّن بالمتجه:
$ \overrightarrow{oO}= \vec i -2\;\vec j - 3\;\vec k$
|
(0, 4, 4)
|
إن المركز الجديد هو النقطة O(1,-2,-3) نطبق دساتير الانسحاب:
$$\begin{align} x = x_0 + X \implies x = 1 + X\\ y = y_0 + Y \implies y = -2 + Y\\ z = z_0 + Z \implies z = -3 + Z\\ 1 = 1 + X \implies X = 0\\ 2 = -2 + Y \implies Y = 4\\ 1 = -3 + Z \implies Z = 4 \end{align}$$
|
sy
|
arb
|
||
23,798
|
mathematics
|
university
|
أوجد الإحداثيات الديكارتية والأسطوانية للنقطة M المعطاة بالإحداثيات الكروية كما يلي $M(4,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$
|
الإحداثيات الديكارتية للنقطة M هي ($\sqrt3,3,2$)M
والإحداثيات الأسطوانية هي $2\sqrt3,\frac{\pi}{3},2)$)
|
من العلاقات بين الإحداثيات الديكارتية والكروية نجد:
$\begin{alignat*}{0}z = \rho \cos\varphi\\ \rho = 4 \qquad \varphi =\frac{\pi}{3} \implies z = 4 \cos \frac{\pi}{3}, z = 4 \;\times \; \frac{1}{2} = 2\\r^2 = \rho^2 - z^2 = 16 - 4 = 12\\ \implies r = 2\;\sqrt3 \qquad \text{&}\;\; \theta = \frac{\pi}{3}\\ x = r \cos\theta \implies x = 2\;\sqrt3 \cos \frac{\pi}{3} \implies x =\sqrt 3\\y = r \sin\theta \implies y = 2\;\sqrt3 \sin \frac{\pi}{3} \implies y = 3 \end{alignat*}$
وعليه تكون الإحداثيات الديكارتية للنقطة M هي ($\sqrt3,3,2$)M وتكون الإحداثيات الأسطوانية هي $2\sqrt3,\frac{\pi}{3},2)$)
|
sy
|
arb
|
||
23,799
|
mathematics
|
university
|
حوّل المعادلة التالية من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات الكروية.
المعادلة هي $x^2 + y^2 = 4\;$
|
\(\rho = \frac{2}{\sin \varphi}\) ، وهي معادلة أسطوانة دائرية نصف قطرها 2.
|
نضيف إلى طرفي المعادلة $z^2$ نحصل على:
$\begin{alignat*}{0} x^2 + y^2 + z^2 = 4 + z^2\\ \rho^2 = 4 + z^2 \\ \rho^2 = 4 + \rho^2 \cos^2 \varphi \\ \rho^2 - \rho^2 \cos^2 \varphi = 4 \implies \rho^2 ( 1 - \cos^2 \varphi) = 4\\ 1 - \cos^2\varphi = \sin^2 \varphi \\ \rho^2 \sin^2\varphi = 4 \implies \rho^2 = \frac{4}{\sin^2\varphi} \implies \rho = \frac{2}{\sin \varphi} \end{alignat*}$
وهي معادلة أسطوانة دائرية نصف قطرها 2.
|
sy
|
arb
|
||
23,815
|
mathematics
|
university
|
نأخذ المتجهين $u_2=(3,2,0)\;، u_1=(-1,0,2)$ من $R^3$.
١- أثبت أن $u = (5,6,8) $ هو تركيب خطي لـ $u_2, u1 $.
٢- بينما $u' = (2,6,8) $ ليس تركيبًا خطيًا لـ $u_1, u2 $.
|
المتجه u تركيب خطي للمتجهين $u_1$ و $u_2$ نظرًا لوجود معاملات $\alpha_1$ و $\alpha_2$ تحقق المعادلة $(5,6,8) = \alpha_1 \cdot (-1,0,2) + \alpha_2 \cdot (3,2,0)$
المتجه 'u ليس تركيبًا خطيًا للمتجهين $u_1$ و $u_2$ نظرًا لعدم وجود معاملات $\alpha'_1$ و $\alpha'_2$ تحقق المعادلة $(2,6,8) = \alpha'_1 \cdot (-1,0,2) + \alpha'_2 \cdot (3,2,0)$
|
حتى يكون $u$ تركيبًا خطيًا لـ $u_1$ و $u_2$ يجب أن توجد الأعداد $\alpha_1$ و $\alpha_2$ (مقادير سلمية) بحيث:
$\begin{alignat*}{0}u = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2\\ u = (5,6,8) = \alpha_1(-1,0,2) + \alpha_2(3,2,0)\\= (-\alpha,0,3\alpha_1) + (3\alpha_2, 2\alpha_2, 0)\\(5,6,8) =(-\alpha_1 + 3\alpha_2, 2\alpha_2, 2\alpha_{1}) \implies\\ -\alpha_1 + 3\alpha_2 = 5\\ 2\alpha_2 = 6 \implies \alpha_2 = 3\\ 2\alpha_1 = 8 \implies \alpha_1 = 4 \end{alignat*}$
نعوض في المعادلة الأولى:
محققة $-4 + 3 \times 3 = -4 + 9 = 5$
الحل المشترك $\alpha_2 = 3, \alpha_1 = 4$
إذًا: الإجابة نعم يوجد $\alpha_2 = 3, \alpha_1 = 4$ ومنه $u=4u_1 + 3u_2$ أي تركيب خطي لـ $u_2, u_1$.
بالنسبة لـ 'u:
$\begin{alignat*}{0} u' = (2,6,8) = \alpha'_1u_1 + \alpha'_2u_2 = \alpha'_1(-1,0,2) + \alpha'_2(3,2,0)\\(2,6,8) = (-\alpha'_1,0,2\alpha'_1) + (3\alpha'_2, 2\alpha'_2, 0)\\= (-\alpha'_1 + 3\alpha'_2, 2\alpha'_2, 2\alpha'_1) \implies\\ -\alpha'_1 + 3\alpha'_2 = 2\\ 2\alpha'_2 = 6 \implies \alpha'_2 = 3\\ 2\alpha'_1 = 8 \implies \alpha'_1 =4 \end{alignat*}$
نعوض بالمعادلة الأولى:
$-4 + 3 x_3 = 5 \neq 2$
أي أن الجملة مستحيلة الحل لذلك 'u ليس تركيبًا خطيًا لـ $u_2, u_1$.
|
sy
|
arb
|
||
23,816
|
mathematics
|
university
|
بيّن فيما إذا كانت المتجهات $u_3 = (4,5,1), u_2 = (1,2,3), u_1=(-1,0,1) $ تولد الفضاء $R^3$.
|
نعم، المتجهات $u_3 = (4,5,1), u_2 = (1,2,3), u_1=(-1,0,1) $ تولد الفضاء $R^3$.
|
يجب أن نبين أن أي متجه مثل $b = (b_1,b_2,b_3)$ من $R^3$ يمكن التعبير عنه كتركيب خطي للمتجهات $u_3,u_2,u_1$ أي أنه يوجد $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1$ (مقادير سلمية) بحيث: $b = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \alpha_3u_3$
نعوض:
$\begin{alignat*}{0} (b_1, b_2, b_3) = \alpha_1 (-1,0,1) + \alpha_2 (1,2,3) + \alpha_3(4,5,1)\\ = (-\alpha_1, 0, \alpha_1) + (\alpha_2, 2\alpha_2, 3\alpha_2) + (4\alpha_3, 5\alpha_3, \alpha_3)\\ (b_1, b_2, b_3) = (-\alpha_1 + \alpha_2 + 4\alpha_3, 2\alpha_2 + 5\alpha_3, \alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3)\\-\alpha_1 + \alpha_2 + 4\alpha_3 = b_1\\ 2\alpha_2 + 5\alpha_3 = b_2\\ \alpha_1 + 3\alpha_2 +\alpha_3 = b_3\end{alignat*}$
وهي جملة معادلات خطية مصفوفة المعاملات:
$\begin{alignat*}{0}A=\begin{bmatrix} -1&1&4\\0&2&5\\1&3&1\end{bmatrix} \implies\\ det A = \begin{vmatrix} -1&1&4\\0&2&5\\1&3&1\end{vmatrix} = -1(2-15) - 1(0-5) +4(0-2)\\det A = +13 + 5 - 8 = +10 \neq 0\end{alignat*}$
أي إن الجملة تملك حلًا وحيدًا أي يوجد $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1$ بحيث تحقق العلاقة: $b = \alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \alpha_3u_3$
وبالتالي المتجهات $u_3, u_2, u_1$ تولد $R^3$.
بينما المتجهات $u_3=(4,-5,1), u_2=(-1,2,3), u_1 =(-1,0,1)$ لا تولد $R^3$ لأننا لو طبقنا الطريقة السابقة نفسها سنحصل على الجملة:
$\begin{alignat*}{0} -\alpha_1 - \alpha_2 + 4\alpha_3 = b_1\\ -2\alpha_1 - 5\alpha_3 = b_2\\ \alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3 = b_3\end{alignat*}$
مصفوفة المعاملات:
$\begin{alignat*}{0}A=\begin{bmatrix} -1&-1&4\\0&-2&-5\\1&3&1\end{bmatrix} \implies\\ det A = \begin{vmatrix} -1&-1&4\\0&-2&-5\\1&3&1\end{vmatrix} = -1(-2+5) + 1(0+5) +4(0+2)\\ = -13 + 13 = 0\end{alignat*}$
هذا يعني أن الجملة لا تملك حلًأ، إذًا المتجهات $u_3, u_2, u_1$ لا تولد $R^3$.
|
sy
|
arb
|
||
23,823
|
mathematics
|
university
|
بيّن فيما إذا كانت $u_3=(0,-1,-2) ,u_2=(4,2,2) ,u_1=(-2,1,3)$ مستقلة خطيًا
|
المتجهات مرتبطة خطيًا
|
نكتب المعادلة: $\qquad\qquad\qquad$$\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \alpha_3u_3 = 0$
$\begin {alignat*}{0}\alpha_1(-2,1,3) + \alpha_2(4,2,2) + \alpha_3(0,-1,-2) = 0\\(-2\alpha_1, \alpha_1, 3\alpha_1) + (4\alpha_2, 2\alpha_2, 2\alpha_2) + (0,-\alpha_3, -2\alpha_3) = 0\\(-2\alpha_1 + 4\alpha_2, \alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3, 3\alpha_1 + 2\alpha_2 - 2\alpha_3) = 0\\-2\alpha_1+4\alpha_2=0\\\alpha_1 + 2\alpha_2 -\alpha_3=0\\3\alpha_1 + 2\alpha_2 - 2\alpha_3 = 0\end{alignat*}\qquad \quad$
مصفوفة المعاملات:
$\begin {alignat*}{0} A = \begin{bmatrix} -2& 4&0\\1&2&-1\\3&2&-2\end{bmatrix}\\ \\det A = \begin{vmatrix}-2&4&0\\1&2&-1\\3&2&-2\end{vmatrix} = -2(-4+2) -4(-2+3) = 4 - 4 = 0 \qquad \quad \end{alignat*}$
وبما أن عمود الثوابت يساوي الصفر إذًا:
$det A_1 = 0, \; det A_2 = 0,\; det A_3 = 0$
إذًا للجمل عدد غير منتهي من الحلول غير الحل الصفري وبالتالي المتجهات مرتبطة خطيًا
|
sy
|
arb
|
||
23,828
|
mathematics
|
university
|
ليكن AX = b حيث: $\begin{bmatrix} 1&-1&0\\0&-1&1\\1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\8\\4\end{bmatrix}$
أثبت أن $b=\begin{bmatrix} 5\\8\\4\end{bmatrix}$ عنصر من فضاء الأعمدة وذلك بالتعبير عنه على شكل تركيب خطي لهذه الأعمدة.
|
b تقع في فضاء أعمدة A.
|
نقوم بحل جملة المعادلات:
$\begin{alignat*}{0} x_1 - x_2 = 5\\ -x_2 + x_3 = 8\\ x_1 + x_2 + x_3 = 4 \end{alignat*}$
بأي طريقة من الطرق التي مرت معنا نجد أن:
$x3=5, \quad x_2=-3, \quad x_1 =2$
نعوض في العلاقة (2): $x_1C_1 + x_2C_2 + x_3C_3 = b \qquad$
$2\begin{bmatrix} 1\\0\\1\end{bmatrix} - 3\begin{bmatrix} -1\\-1\\1\end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} 0\\1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\0\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3\\3\\-3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\5\\5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+3+0\\0+3+5\\2-3+5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\8\\4\end{bmatrix} = b$
إذًا b تقع في فضاء أعمدة A.
|
sy
|
arb
|
||
23,829
|
mathematics
|
university
|
هل تشكل الحدوديات:
$P_3 = 1 - 3x - x^2 \qquad, \qquad P_2 = 5 + 3x - 2x^2 \qquad , \qquad P_1 = 1 - x$
قاعدة للفضاء $P_2$.
|
لجملة المعادلات حل غير الحل الصفري وبالتالي فإن مجموعة الحدوديات غير مستقلة خطيًا فهي لا تشكل قاعدة الفضاء $P_2$.
|
لنثبت أنها مستقلة خطيًا:
$\begin{alignat*}{0} \alpha_1P_1 + \alpha_2P_2 + \alpha_3P_3 = 0\\\alpha_1(1-x) + \alpha_2(5+3x-2x^2) + \alpha_3(1-3x-x^2) = 0\\\alpha_1 -\alpha_1x + 5\alpha_2 + 3\alpha_2x - 2\alpha_2x^2 + \alpha_3 - 3\alpha_3x - \alpha_3x^2 = 0\\(-\alpha_1 + 3\alpha_2 - 3\alpha_3)x + (-2\alpha_2 - \alpha_3)x^2 + (\alpha_1 + 5\alpha_2 + \alpha_3) = 0\\ -\alpha_1 + 3\alpha_2 - 3\alpha_3 = 0\\ -2\alpha_2 - \alpha_3 = 0\\\alpha_1 + 5\alpha_2 + \alpha_3 = 0 \end{alignat*}$
مصفوفة المعاملات:
$\begin{alignat*}{0} A = \begin {bmatrix} -1&3&-3\\0&-2&-1\\1&5&1 \end{bmatrix}\\ det A = \begin {vmatrix} -1&3&-3\\0&-2&-1\\1&5&1 \end{vmatrix} = -1 (-2+5) -3(0+1) -3(-2) = -3-3+6 = 0 \end {alignat*}$
ولجملة المعادلات حل غير الحل الصفري وبالتالي فإن مجموعة الحدوديات غير مستقلة خطيًا فهي لا تشكل قاعدة الفضاء $P_2$.
|
sy
|
arb
|
||
23,830
|
mathematics
|
university
|
لتكن AX = b حيث: $\begin{bmatrix} 2&3&-1\\1&4&2\\3&-1&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$
أثبت أن $b = \begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$ هو عنصر من فضاء الأعمدة وذلك بالتعبير عنه على شكل تركيب خطي لهذه الأعمدة.
|
b يقع في فضاء أعمدة A.
|
نقوم بإيجاد حل جملة المعادلات الخطية:
$\begin{alignat*}{0}2x_1 + 3x_2 - x_3 = 1\\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 2\\ 3x_1 - x_2 - x_3 = 3 \end {alignat*}$
بإحدى الطرق التي مرت معنا نجد أن:
$x_1 = \frac{6}{5} \qquad \qquad x_2 = \frac{-1}{5} \qquad \qquad x_3 = \frac{4}{5}$
نعوض في العلاقة:
$\begin{alignat*}{0} x_1C_1 + x_2C_2 + x_3C_3 = 6\\\frac{6}{5}\begin{bmatrix}2\\1\\3\end{bmatrix} -\frac{1}{5}\begin{bmatrix}3\\4\\-1\end{bmatrix} + \frac{4}{5}\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmatrix} \stackrel{؟}{=}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}\frac{12}{5}-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\\\frac{6}{5}-\frac{4}{5}+\frac{8}{5}\\-\frac{18}{5}+\frac{1}{5}-\frac{4}{5}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{5}{5}\\\frac{10}{5}\\-\frac{15}{5}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\end {alignat*}$
إذًا : b يقع في فضاء أعمدة A.
|
sy
|
arb
|
||
23,832
|
mathematics
|
university
|
أوجد التطبيق $f:R^3 \rightarrow R^2$ الذي يضيف القاعدة:
$A = \{ a_1 = (1,-1,1), a_2 = (1,0,1), a_3 = (-1, 0, 0)\}$
في المتجهات $u_1, u_2, u_3 \in R^2$.
$a_1 \rightarrow u_1 = (2,-1) \qquad \qquad a_2 \rightarrow u_2 = (1,1) \qquad \qquad a_3 \rightarrow u_3 = (0,3)$
|
$f(x,y,z) = (-y + z, -3x + 2y + 4z) $
|
$\begin{alignat*}{0}\forall (x,y,z) \in R^3 \implies\\(x,y,z) = \alpha a_1 + \beta a_2 + \gamma a_3 \implies\\(x,y,z) = \alpha(1,-1,1) + \beta(1,0,1) +\gamma(-1,0,0)\\=(\alpha, -\alpha, \alpha) + (\beta, 0, \beta) + (-\gamma, 0, 0)\\=(\alpha + \beta -\gamma, -\alpha, \alpha + \beta) \implies\\x = \alpha + \beta - \gamma \qquad \qquad y = -\alpha \qquad \qquad z = \alpha + \beta\\\alpha = -y\\\beta = z + y\\\gamma = -y + z + y - x = z - x\end{alignat*}$
ومنه:
$(x,y,z) = -ya_1 + (y + z)a_2 + (z - x)a_3$
نطبق f فنجد:
$\begin{alignat*}{0} f(x,y,z) = -yf(a_1) + (y + z) f(a_2) + (z - x) f(a_3)\\ = -y(2,-1) + (y + z)(1,1) + (z - x)(0,3)\\=(-2y, +y) + (y + z, y + z) + (0, 3(z - x))\\=(-2y + y + z + 0, y + y + z + 3z - 3x)\\= (-y + z, -3x + 2y + 4z) \end{alignat*}$
والعلاقة الأخيرة هي التي تعيّن f، أي قاعدة ربط f.
مثلًا إذا أردنا حساب صورة $u = (4, -2, 1)$ نجد:
$f(u) = f(4, -2, 1) = (2 + 1, -12 - 4 + 4) = (3, -12)$
|
sy
|
arb
|
||
23,836
|
mathematics
|
university
|
ليكن التطبيق $f : R^4 \rightarrow R^3$ معرف f(x,y,z,t) = (x - y + t, y - z, z - t - x)
المطلوب:
١- أثبت أن f تطبيق خطي.
٢- أوجد قاعدة نواة هذا التطبيق (ker f) وبعده.
٣- أوجد قاعدة صورة هذا التطبيق (Im f) وبعده.
|
١- تم المطلوب إثباته: التطبيق f خطي.
٢- قاعدة ker f هي: {(1,0,0,1-), (1,1,1,0)} و بُعدها هو عدد عناصرها أي إن: dim ker f = 2
٣- قاعدة Im f هي: $\{e'_1 = (1, 0, -1) \;, e'_2 = ( 0, 1, -1)\}$ وبُعدها هو عدد عناصرها: dim (im f) = 2
|
١- حتى يكون f تطبيقًا خطيًا يجب أن يتحقق:
$\begin{alignat*}{0}\forall \;\alpha, \beta \in K \qquad \forall\; u = (x_1, y_1, z_1, t_1) \;\;v = (x_2, y_2, z_2, t_2) \in R^4\\f(\alpha u + \beta v) = f( \alpha x_1 + \beta x_2, \alpha y_1 + \beta y_2, \alpha z_1 + \beta z_2, \alpha t_1 + \beta t_2)\\= (\alpha x_1 + \beta x_2 - \alpha y_1 - \beta y_2 + \alpha t_1 + \beta t_2, \alpha y_1 + \beta y_2 - \alpha z_1 - \beta z_2, \alpha z_1 + \beta z_2 - \alpha t_1 - \beta t_2 - \alpha x_1 - \beta x_2) \\ = (\alpha x_1 - \alpha y_1 + \alpha t_1, \alpha y_1 - \alpha z_1, \alpha z_1 - \alpha t_1 - \alpha x_1) + (\beta x_2 - \beta y_2 - \beta t_2, \beta y_2 - \beta z_2, \beta z_2 - \beta t_2 - \beta x_2)\\= \alpha (x_1 - y_1 + t_1, y_1 - z_1, z_1 - t_1 - x_1) + \beta (x_2 - y_2 - t_2, y_2 - z_2, z_2 - t_2 - x_2) \\= \alpha f(u) + \beta f(v) \end{alignat*}$
ومنه f خطّي.
٢- نعلم أن $ker f = \{ u \in R^4 | f(u) = (0, 0, 0) \}$
$\begin{alignat*}{0} f(u) = f(x, y, z, t) = (x - y + t, y - z, z - t - x) = (0, 0, 0)\\ x - y + t = 0\\ y - z = 0\\ z - t - x = 0 \end{alignat*}$
نأخذ مصفوفة المعاملات:
$A = \begin{bmatrix}1&-1&0&t\\0&1&-1&0\\-1&0&1&-1\end{bmatrix}$
نحولها إلى الشكل المدرج باستخدام التحويلات الأولية، نحصل على المصفوفة:
$\begin{alignat*}{0}\begin{bmatrix}1&1&0&1\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\implies\\ x - y + t = 0 \qquad \qquad y - z = 0 \implies y = z \qquad \qquad x = z - t\\ \implies (x, y, z, t) = ( z - t, z, z, t) \\ ( x, y, z, t) = z ( 1,1,1,0) + t(-1, 0, 0, 1)\end{alignat*}$
أي إن قاعدة ker f هي:
{(1,0,0,1-), (1,1,1,0)}
بُعدها هو عدد عناصرها أي إن: dim ker f = 2
٣- لمعرفة قاعدة Im f وبعدها نبحث عن مولد لـ Im f الذي هو صورة قاعدة ما في المنطلق.
نأخذ القاعدة القانونية في $R^4$ ثم نحسب صور عناصرها:
$\begin{alignat*}{0} \{e_1 = (1,0,0,0), e_2 = (0, 1, 0, 0), e_3 = (0, 0, 1, 0), e_4 = (0, 0, 0, 1)\}\\ f(e_1) = f(1, 0, 0, 0) = (1, 0, -1)\\f(e_2) = f(0, 1, 0, 0) = (-1, 1, 0)\\f(e_3) = f(0, 0, 1, 0) = (0, -1, 1)\\f(e_4) = f(0, 0, 0, 1) = (1, 0, -1)\end{alignat*}$
إذًا: المجموعة: $\{ e'_1 = (1, 0, -1), e'_2 = (-1, 1, 0) , e'_3 = (0, -1, 1) , e'_4 = (1, 0, -1)\}$
تولد Im f وهنا يجب أن نستخرج منها مجموعة مستقلة خطيًا لذلك نكتب المصفوفة:
$\begin{bmatrix}1&0&-1\\-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{bmatrix}$
نحولها إلى مصفوفة مدرجة نحصل على المصفوفة:
$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$
تكون القاعدة المستقلة خطيًا مكونة من متجهات الأسطر المغايرة للصفر أي:
$e'_2 = (0, 1, -1) \qquad \qquad e'_1 = ( 1, 0, -1)$
وبالتالي قاعدة Im f هي:
$\{e'_1 = (1, 0, -1) \;, e'_2 = ( 0, 1, -1)\}$
وبُعدها هو عدد عناصرها: dim (im f) = 2
|
sy
|
arb
|
||
23,840
|
mathematics
|
university
|
ليكن التطبيق الخطي $f : R^2 \rightarrow R^2$ المعين كما يلي:
$f(x,y) = (y, zx + y)$
أوجد مصفوفة هذا التطبيق بالنسبة للقاعدة القانونية في $R^2$.
|
مصفوفة التطبيق : $M(f) = \begin{bmatrix} 0&1\\2&1\end{bmatrix} \qquad $
|
القاعدة القانونية في $R^2$ هي:
$\{ e_1 = (1,0), e_2 = (0,1) \}$
نكتب $f(e_2) ،f(e_1)$ كتركيب خطي لعناصر $R^2$.
$\begin{alignat*}{0} f(e_1) = f(1,0) = (0,2) - 0e_1 + 2e_2\\ f(e_2) = f(0,1) = (1,1) = e_1 + e_2 \end{alignat*}$
مصفوفة المعاملات هي: $A = \begin{bmatrix} 0&2\\1&1\end{bmatrix} \qquad \qquad$
عندها تكون مصفوفة التطبيق هي منقول هذه المصفوفة: $M(f) = A^T = \begin{bmatrix} 0&1\\2&1\end{bmatrix} \qquad $
|
sy
|
arb
|
||
24,047
|
mathematics
|
university
|
أوجد التطبيق الخطي $f \in Hom(R^2, R^3)$ الذي مصفوفته:
$ِA = \begin{bmatrix} 3&-2\\0&0\\1&4\end{bmatrix}$
بالنسبة للقاعدتين القانونيتين في كل من $R^3, R^2$.
|
$f(x,y)=(3x-2y, 0, x+4y)$
|
القاعدة القانونية في $R^2$ هي:
$\{ e_1 = (1,0), e_2 = (0,1) \}$
القاعدة القانونية في $R^3$ هي:
$\begin{alignat*}{0} \{e'_1 = (1,0,0), e'_2 = (0,1,0), e'_3 = (0,0,1) \}\\ f(e_1) = f(1,0) = 3e'_1 + 0 e'_2 + 1 e'_3 = (3,0,1)\\f(e_2) = f(0,1) = -2e'_1 + 0 e'_2 + 4 e'_3 = (-2,0,4)\\ \forall (x,y) \in R^2 \implies (x,y) = xe_1 + ye_2\\ f(x,y) = xf(e_1) + yf(e_2)\\=x(3,0,1) + y(-2,0,4) = (3x,0,x) + (-2y,0,4y)\end{alignat*}$
(f قاعدة ربط) $=(3x-2y, 0, x+4y)$
وهو التطبيق الخطي المطلوب.
|
sy
|
arb
|
||
24,048
|
mathematics
|
university
|
عيّن التطبيق الخطي الذي مصفوفته:
$A=\begin{bmatrix}-2&-6\\3&2\\2&6 \end{bmatrix}$
بالنسبة للقاعدتين:
$\begin{alignat*}{0} B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}\\B=\{(1,1), (0,2)\}\end{alignat*}$
|
$f(x,y) = (3x-2y, 0, x+2y)$
|
$\begin{alignat*}{0} \forall (x, y) \in R^2 \implies\\ (x,y) = \alpha a_1 + \beta a_2 \implies (x,y) = \alpha (1,1) + \beta (0,2)\\=(\alpha, \alpha a) + ( 0, 2 \beta) = (\alpha, \alpha + 2 \beta) \\ x = \alpha \quad y=\alpha + 2\beta \implies y = x + 2\beta \implies y-x=2\beta\implies\beta = \frac{y - x}{2}\\(x,y) = x a_1 + \frac {y - x}{2} a_2\end{alignat*}$.
أي أن إحداثيات $u(x,y)$ بالنسبة للقاعدة A هي $(x, \frac{1}{2}(y-x))$
نطبق القاعدة $u' = f(u) = A . u$
$\begin{alignat*}{0} \implies \begin {bmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3 \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} -2&-6\\3&2\\2&6 \end{bmatrix} \begin {bmatrix} x\\\frac{1}{2}(y-x)\end{bmatrix}\\ \begin {bmatrix} -2x -3(y-x)\\3x+y-x\\2x+3(y-x) \end{bmatrix} = \begin {bmatrix} x-3y\\2x+y\\3y-x \end{bmatrix} \end{alignat*}$
لكن $(x'_1, x'_2, x'_3)$ هي الإحداثيات في القاعدة B.
$\begin{alignat*}{0} f(x,y) = x'_1b_1 + x'_2b_2 + x'_3b_3 =\\(x-3y)b_1 + (2x + y)b_2 + (3y - x)b_3=\\(x-3y)(1,1,0) + (2x+y)(1,0,1) +(3y-x)(0,1,1) =\\(x-3y, x-3y, 0) + (2x + y, 0, 2x+y) + (0, 3y-x, 3y-x)=\\(x-3y+2x+y, x-3y+3y-x, 2x+y+3y-x)\\=(3x -2y, 0, x+2y)\end{alignat*}$
والتطبيق المطلوب هو :
$f(x,y) = (3x-2y, 0, x+2y)$
|
sy
|
arb
|
||
24,055
|
mathematics
|
university
|
أوجد القيم الذاتية للمصفوفة :
$A = \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{bmatrix}$
|
هناك ثلاث قيم ذاتية مختلفة للمصفوفة A، إما $\lambda = 4$ أو $\lambda=2\;\pm\;\sqrt3$
|
نشكل المعادلة $det (\lambda I - A) = 0$
$\begin{alignat*}{0}\lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\end{bmatrix} = \\\begin{bmatrix} \lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\-4&17&\lambda-8\end{bmatrix} \implies det A = \begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\-4&17&\lambda-8\end{vmatrix} = 0\end{alignat*}$
وهي المعادلة المميزة للمصفوفة.
$\begin{alignat*}{0}\begin{vmatrix} \lambda&-1&0\\0&\lambda&-1\\-4&17&\lambda-8\end{vmatrix} = 0\implies \lambda \begin{vmatrix} \lambda&-1\\17&\lambda - 8\end{vmatrix}+ 1 \begin{vmatrix} 0&-1\\-4&\lambda -8 \end{vmatrix} = 0\\\implies \lambda^3 - 8 \lambda^2 + 17 \lambda - 4 = 0 \implies (\lambda - 4) ( \lambda^2 - 4\lambda + 1) = 0 \end{alignat*}$
إما $\lambda = 4$ أو $\lambda^2 - 4 \lambda + 1 = 0$
بحل معادلة الدرجة الثانية نحصل على: $\lambda = 2 \pm \sqrt3$
إذًا هناك ثلاث قيم ذاتية مختلفة للمصفوفة A المعطاة.
|
sy
|
arb
|
||
24,065
|
mathematics
|
university
|
أوجد المعادلة المميزة والقيم الذاتية للمصفوفة :
$A = \begin{bmatrix}5&0\\4&3 \end{bmatrix}$
|
المعادلة المميزة هي: $ \lambda^2 - 8 \lambda + 15 = 0$ ، والقيم الذاتية للمصفوفة A هي: $\lambda = 5$ أو $\lambda = 3$.
|
نشكّل:
$\lambda I - A = \begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}5&0\\4&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda - 5&0\\-4&\lambda-3 \end{bmatrix} $
ومنه المعادلة المميزة:
$\begin{alignat*}{0}\begin{bmatrix}\lambda - 5&0\\-4&\lambda -3\end{bmatrix} = 0 \implies (\lambda - 5)(\lambda-3) = 0\\ \lambda^2 - 8 \lambda + 15 = 0 \end{alignat*} $
وهي المعادلة المميزة للمصفوفة A.
القيم الذاتية هي حل المعادلة السابقة:
إما $\lambda = 5$ أو $\lambda = 3$ $(\lambda - 5)(\lambda - 3) = 0 \implies$
إذًا: القيم الذاتية هي $\lambda = 5$ أو $\lambda = 3$.
|
sy
|
arb
|
||
24,066
|
mathematics
|
university
|
أوجد المتجهات الذاتية للمصفوفة:
$A = \begin{bmatrix}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3 \end{bmatrix}$
|
المتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:
$\quad \quad U_3 = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 1\end{bmatrix}\;\quad$ $U_1 = \begin{bmatrix} 1 \\0\\-1\end{bmatrix} \qquad \quad U_2 = \begin{bmatrix} 0 \\1\\0\end{bmatrix}$
|
المصفوفة $A$ من الرتبة $3 × 3$ عندها يكون المتجه X في الفراغ ثلاثي البعد $R^3$ أي:
$X = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}$ ومصفوفة الواحدة $I = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$
نشكل:
$\begin{alignat*}{0} \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda&0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0&0&-2\\1&2 &1\\1&0&3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} \lambda&0&-2\\-1&\lambda - 2&-1\\-1&0&\lambda-3\end{bmatrix}\end{alignat*}$
عندها تكون المعادلة المميزة:
$\begin{vmatrix} \lambda&0&-2\\-1&\lambda - 2&-1\\-1&0&\lambda-3\end{vmatrix} = 0 \implies$
ننشر المحدد وفق العمود الثاني:
$\begin{alignat*}{0} (\lambda - 2) \begin{vmatrix} \lambda & 2\\ -1& \lambda -3\end{vmatrix} = 0 \implies (\lambda - 2) [\lambda (\lambda - 3) + 2] = 0 \\ \implies (\lambda - 2) (\lambda^2 - 3\lambda + 2) = 0 \implies\\(\lambda - 2)(\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0 \end{alignat*}$
إذًا : $\lambda =1$ أو $\lambda =2$ وهو جذر مضاعف.
ويكون للمعادلة القيم الذاتية $\lambda = 2$ أو $\lambda = 1$.
١ - إيجاد المتجه الذاتي من أجل القيمة الذاتية $\lambda = 2$ تصبح المعادلة $(\lambda I - A)X = 0$:
$\begin{alignat*}{0}\begin{bmatrix} 2&0&2\\-1&0&-1\\-1&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 2x_1 + 2x_3\\-x_1 - x_3\\-x_1 - x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}\implies\begin{array} {2} 2x_1 + 2x_3 =0\\-x_1 -x_3 = 0\\-x_1 -x_3 = 0\end{array} \implies x_3 = -x_1\end{alignat*}$
أما $x_2$ فهو قيمة اختيارية.
$\begin{bmatrix} x_1 \\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\x_2\\-x_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\0\\x_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\x_2\\0\end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\0\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 0 \\1\\0\end{bmatrix}$
أي لدينا متجهان ذاتيان لأن الجذر مضاعف وهما:
$U_1 = \begin{bmatrix} 1 \\0\\-1\end{bmatrix} \qquad \quad U_2 = \begin{bmatrix} 0 \\1\\0\end{bmatrix}$
٢ - من أجل القيمة الذاتية $\lambda = 1$ تصبح المعادلة :
$\begin{alignat*}{0}(\lambda I - A)X = 0\\ \begin{bmatrix} 1 &0&2 \\-1&-1&-1\\-1&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0\\0\end{bmatrix} \implies\end{alignat*}$
$\left.\begin{align}x_1 + 2x_3 = 0 \\x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\x_1 + 2x_3 = 0\end{align}\right \} \implies x_2 = x_3,\; \;x_1 = -2x_3$
المتجه المطلوب:
$\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2x_3\\ x_3\\ x_3\end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$
عندها نقول إن $U_3 = \begin{bmatrix}-2\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$ متجه ذاتي للمصفوفة $A$ يقابل القيمة الذاتية $\lambda = 1$.
|
sy
|
arb
|
||
24,186
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق كل من الدوال التالية
$y = (2x + 3)^{12}$
|
$y' = 12 (2x + 3)^{11} (2) = 24 (2x + 3)^{11}$
|
sy
|
arb
|
|||
24,187
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق الدالة التالية:
$y = \frac{3x}{x^2 - 1}$
|
$y' = \frac{3x^2 - 3 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$
|
$y' = \frac{(3x)' (x^2 - 1) - (x^2 - 1)' (3x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(3)(x^2 - 1)-(2x)(3x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^2 - 3 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2}$
|
sy
|
arb
|
||
24,188
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق كل من الدوال التالية
$y = \sin x\; \ln x$
|
$y' = \cos x \ln x + \frac{1}{x} \sin x$
|
sy
|
arb
|
|||
24,189
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق كل من الدوال التالية
$y = \sqrt{2x}$
|
$y' = \frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$
|
sy
|
arb
|
|||
24,190
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق كل من الدوال التالية
$y = e^{\sqrt{x^2+3x}}$
|
$y' = (\sqrt{x^2 + 3x})' e^{\sqrt{x^2 + 3x}} = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}e^{\sqrt{x^2+3x}}$
|
sy
|
arb
|
|||
24,191
|
mathematics
|
university
|
أوجد مشتق كل من الدوال التالية
$y = \sin^5 3x$
|
$y' = 5(sin3x) sin^43x = 15 \cos 3x sin^4 3x$
|
sy
|
arb
|
|||
24,192
|
mathematics
|
university
|
أوجد تكامل: $I = \displaystyle\int x^5 \cos x \,dx$
|
$I = x^5 \;\sin x + 5\; x^4 \;\cos x - 20\; x^3\; \sin x - 60\; x^2\; cos x + 120 \;x \;sinx + 120 \;cos x + c$
|
$$\begin{array}{|r|r|} \hline u &&dv \\\hline x^5& \fbox{+} &cos x\\\downarrow& \large\searrow & \downarrow\\\hline 5x^4&\fbox{-}&sinx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline20x^3&\fbox{+}&-cosx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline60x^2&\fbox{-} &-sinx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline120x&\fbox{+}&cos x\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline120&\fbox{-}&sinx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline0&&-cosx \\\hline\end{array}$$
$I = x^5 \;\sin x + 5\; x^4 \;\cos x - 20\; x^3\; \sin x - 60\; x^2\; cos x + 120 \;x \;sinx + 120 \;cos x + c$
|
sy
|
arb
|
||
24,193
|
mathematics
|
university
|
أوجد تكامل: $I = \displaystyle\int \sin x \cdot e^x \,dx$
|
$ \displaystyle\int \sin x \; e^x = e^x \;sin x - e^x \;cos x - \displaystyle\int e^x \;sinx \,dx$
|
$$\begin{array}{|r|r|} \hline u&&dv \\\hline sin x &\fbox{+} &e^x\\\downarrow& \large\searrow & \downarrow\\\hline -cos x&\fbox{-}&e^x\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline-sin x&\large\leftarrow&e^x\\\hline\end{array}$$
$ \displaystyle\int \sin x \; e^x = e^x \;sin x - e^x \;cos x - \displaystyle\int e^x \;sinx \,dx$
|
sy
|
arb
|
||
24,194
|
mathematics
|
university
|
أوجد التكاملات التالية
$I = \displaystyle\int x^2 \cos x \,dx$
|
$$\begin{array}{|r|r|} \hline u &&dv \\\hline x^2& \fbox{+} &cos x\\\downarrow& \large\searrow & \downarrow\\\hline 2x&\fbox{-}&sinx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline 2&\fbox{+}&-cosx\\\downarrow&\large\searrow&\downarrow\\\hline 0 & &-sinx \\\hline\end{array}$$
$I = x^2 \; sinx + 2\;x\;cosx - 2\; sinx + c$
|
sy
|
arb
|
|||
24,195
|
mathematics
|
university
|
أوجد التكاملات التالية
$I =\displaystyle\int x^3\;e^{x^2}\,dx$
|
$\begin{alignat*}{0} I = \frac{1}{2}[x^2e^{x^2} - e^{x^2} + c] \end{alignat*}$
|
$\begin{alignat*}{0}z = x^2 \implies dz = 2x\;dx \implies dx = \frac{dz}{2x}\implies x = \sqrt z\\I = \displaystyle\int x\cdot x^2\;e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2} \displaystyle\int z\;e^{z}\,dz = \frac{1}{2}I_1\\ u = z \implies du = dz\\e^z\;dz = dv \implies v = e^z\\I_1 = z\;e^z - \displaystyle\int e^z\;dz = z\;e^z - e^z \implies I = \frac{1}{2}[x^2e^{x^2} - e^{x^2} + c] \end{alignat*}$
|
sy
|
arb
|
||
24,198
|
mathematics
|
university
|
احسب الحجم الدوراني الناتج عن دوران منحنى التابع $y=x$ حول محور $OX$ في المجال [1, 0]
|
$V = \pi \; \displaystyle\int^1_0\; x^2 \;dx= \pi \; [\frac{x^3}{3}]^1_0 = \pi\; [\frac{1}{3} - 0] = \frac{\pi}{3}$
|
sy
|
arb
|
|||
24,199
|
mathematics
|
university
|
احسب الحجم الدوراني الناتج عن دوران منحنى التابع حول المحور $Y = \cos x\;\;\;OX $ على المجال [$0, \frac{\pi}{2}$].
|
$V= \frac{\pi^2}{4} $
|
$\begin{alignat*}{0}V= \pi \; \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\; \cos^2 x \;dx = \pi \; \displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1 + \cos2x}{2} dx = \pi [\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\frac{\sin 2x}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} \\= \pi [\frac{1}{2}\pi + \frac{1}{2}\frac{\sin 2 \pi }{2} - 0] = \frac{\pi^2}{4}\end{alignat*} $
|
sy
|
arb
|
||
24,200
|
mathematics
|
university
|
احسب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منحنى التابع $y=e^x$ حول المحور $OX$ في المجال [2, 1]
|
$V= \pi \; \displaystyle\int^{2}_1\; (e^x)^2 \;dx = \pi \; \displaystyle\int^{2}_1\; e^{2x} \;dx = [\pi \frac{e^{2x}}{2}]_1^2 = \pi [\frac{e^4 - e^2}{2}] $
|
sy
|
arb
|
|||
24,235
|
physics
|
12
|
تيار متردد يمر في مقاومة 12 أوم وملف حث حثه الذاتي $\frac{7}{440}$ هنري أوجد المعاوقة علما بأن تردده = 50 هيرتز
|
(13 Ω)
|
eg
|
arb
|
|||
24,236
|
physics
|
12
|
ملف حثه الذاتي $\frac{7}{275}$ هنري ومقاومته \(6\, \Omega \) احسب شدة التيار المار في الملف إذا وصل :
أ- بمصدر تيار مستمر قوته الدافعة 6 فولت مهمل المقاومة الداخلية
ب- بمصدر تيار متردد تردده 50 هرتز وقوته الدافعة 6 فولت
|
أ- (1 A)
ب- (0.6 A)
|
eg
|
arb
|
|||
24,237
|
physics
|
12
|
مقاومة 6 أوم ومكثف مفاعلته السعوية \(80\, \Omega \) وملف حثه الذاتي 0.28 هنري متصلة معا على التوالي بمصدر جهد متردد 20 فولت وتردده 50 هرتز احسب
أ- فرق الجهد بين طرفي المكثف
ب- زاوية الطور بين الجهد الكلي والتيار المار في الدائرة
ج- القيمة العظمى لشدة التيار المتردد
|
أ- \(160 V\)
ب- \(53°\)
ج- \(2.8 A\)
|
eg
|
arb
|
|||
24,238
|
physics
|
12
|
تتكون دائرة رنين في جهاز الاستقبال من ملف حث 10 مللي هنري ومكثف متغير السعة ومقاومة مقدارها \(50\, \Omega \) وعندما تصطدم بها موجات لاسلكية ذات تردد 980 كيلو هرتز يتولد عبر الدائرة فرق جهد $10^{-4}$ فولت أوجد قيمة السعة اللازمة في حالة الرنين وشدة التيار في هذه الحالة
|
(2.635 X $10^{-12}$ F, 2 X $10^{-6}$ A)
|
eg
|
arb
|
|||
242
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
متوسط المدى الذي تظل فيه البويضة حية داخل قناة فالوب
|
١) ساعة
٢) يوم
٣) ١-٢ يوم
٤) ٣ ايام
|
٣) ١-٢ يوم
|
eg
|
arb
|
||
243
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
متوسط المدى الذي يظل فيها الحيوان المنوي حي داخل الجهاز التناسلي للأنثى .
|
١) ساعة
٢) يوم
٣) ١-٢ يوم
٤) ٢-٣ يوم
|
٤) ٢-٣ يوم
|
eg
|
arb
|
||
244
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
تحدث عملية إخصاب البويضة في ...
|
١) الرحم
٢) النصف الأخير من قناة فالوب
٣) بداية قناة فالوب
٤) المبيض
|
٣) بداية قناة فالوب
|
eg
|
arb
|
||
245
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
عند المرأة البالغة حيث دورة الطمث ، تستغرق ٢٨ يوم ، يحدث التبويض
|
١) في اليوم التاسع من بدأ الطمث
٢) في اليوم الرابع عشر من بدأ الطمث
٣) في اليوم التاسع من إنتهاء الطمث
٤) فى اليوم الثانى عشر من بدأ الطمث
|
٢) في اليوم الرابع عشر من بدأ الطمث
|
eg
|
arb
|
||
246
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
انغماس البويضة المخصبة في بطانة الرحم يكون بعد
|
١) يوم واحد بعد الإخصاب
٢) ٤ أيام بعد الإخصاب
٣) ٧ أيام بعد الإخصاب
٤) ٥ ساعات بعد الإخصاب
|
٣) ٧ أيام بعد الإخصاب
|
eg
|
arb
|
||
247
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
يفرز هرمون FSH وهرمون LH من :
|
١) حويصلة جراف
٢) الجسم الأصفر
٣) بطانة الرحم
٤) الغدة النخامية
|
٤) الغدة النخامية
|
eg
|
arb
|
||
248
|
biology
|
12
|
اختر الإجابة الأكثر دقة في الأسئلة التالية:
من وظائف هرمون LH
|
١) التبويض
٢) نمو حويصلة جراف
٣) ضمور الجسم الأصفر
٤) نمو الغدد الثديية
|
١) التبويض
|
eg
|
arb
|
||
249
|
biology
|
12
|
من بين المواد التالية: أي منها ينتقل من دم الأم إلى دم الجنين عبر المشيمة؟
|
١) جلوكوز
٢) الكحولات
٣) الفيروسات
٤) خلايا الدم الحمراء
٥) الأحماض الأمينية
٦) الأكسجين
|
١) الجلوكوز
٢) الكحولات
٣) الفيروسات
٥) الأحماض الأمينية
٦) الأكسجين
|
eg
|
arb
|
||
250
|
biology
|
12
|
الحيوانات المنوية لا تسطيع أن تعيش إلا في وسط غذائي لأنه لا يمكنها تخزين غذاء بداخلها.
|
١) العبارتين صحيحتين وتوجد علاقة بينهما .
٢) العبارتين صحيحتين ولا توجد علاقة بينهما
٣) العبارتين خاطئتين .
٤) العبارة الأولى صحيحة و الثانية خاطئة .
٥) العبارة الأولى خاطئة و الثانية صحيحة .
|
١) العبارتين صحيحتين وتوجد علاقة بينهما .
|
eg
|
arb
|
||
251
|
biology
|
12
|
يبدأ إفراز هرمون البروجسترون بعد ثلاثة شهور من حدوث الحمل، لأن المبيض هو الذي يفرز هذا
الهرمون بمفرده .
|
١) العبارتين صحيحتين وتوجد علاقة بينهما.
٢) العبارتين صحيحتين ولا توجد علاقة بينهم .
٣) العبارتين خاطئتين .
٤) العبارة الأولى صحيحة و الثانية خاطئة.
٥) العبارة الأولى خاطئة و الثانية صحيحة.
|
٣) العبارتين خاطئتين .
|
eg
|
arb
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.