Given $E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } ) = -0 . 1 2 6 6 \ \mathrm { V } , E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) = 1 . 4 5 8 \ \mathrm { V } ,$ $K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})=1.8\times 10^{-8}$, $K _ { \mathrm { a 2 } } ( \mathrm { H _ { 2 } S O _ { 4 } } )$ $= 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 2 }$

Calculate the standard electromotive force of a lead-acid battery and select the closest option.
已知 $E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } ) = -0 . 1 2 6 6 \ \mathrm { V } , E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) = 1 . 4 5 8 \ \mathrm { V } ,$ $K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})=1.8\times 10^{-8}$, $K _ { \mathrm { a 2 } } ( \mathrm { H _ { 2 } S O _ { 4 } } )$ $= 1 . 0 \times 1 0 ^ { - 2 }$ 

请计算铅酸蓄电池的标准电动势，选出最接近的选项。
1.5 V
1.6 V
1.7 V
1.8 V
1.9 V
2.0 V
2.1 V
2.2 V
1.5 V
1.6 V
1.7 V
1.8 V
1.9 V
2.0 V
2.1 V
2.2 V
This is a physical chemistry problem, examining the calculation of the Nernst equation in electrochemistry.

First, write out the half-reactions at the positive and negative electrodes:

Negative electrode: $\mathrm { P b } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - }$ 

Positive electrode: $\mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) + 3 \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - } \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + 2 \mathrm { H_2O } \left( \mathrm { l } \right)$

<Checkpoint>[Negative electrode: $\mathrm { P b } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - }$](0.5)</Checkpoint>

<Checkpoint>[Positive electrode: $\mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) + 3 \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - } \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + 2 \mathrm { H_2O } \left( \mathrm { l } \right)$](0.5)</Checkpoint>

First, discuss the negative electrode. Given $E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } ) = -0 . 1 2 6 6 \ \mathrm { V } $, corresponding to the half-reaction equation $\mathrm{Pb^{2+}(aq)+2e^-=Pb(s)}$, then $E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } )+\frac{RT}{2F}ln[\mathrm{Pb^{2+}}]$

Now solve for $[\mathrm{Pb^{2+}}]$:

$[\mathrm{Pb^{2+}}]=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})}{\mathrm{[SO_4^{2-}]}}$

Also, $\mathrm{[SO_4^{2-}]=\frac{K_{a2}[HSO_4^-]}{[H^+]}=1.0\times 10^{-2}\ \ mol/L}$

<Checkpoint>[$\mathrm{[SO_4^{2-}]=1.0\times 10^{-2}\ \ mol/L}$](1)</Checkpoint>

Substitute into $\mathrm{[\mathrm{Pb^{2+}}]=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})}{\mathrm{[SO_4^{2-}]}}=\frac{1.8\times 10^{-8}}{1.0\times 10^{-2}}=1.8\times 10^{-6} \ \ mol/L}$

<Checkpoint>[$\mathrm{[\mathrm{Pb^{2+}}]=1.8\times 10^{-6} \ \ mol/L}$](1)</Checkpoint>

Then $E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } )+\frac{RT}{nF}ln[\mathrm{Pb^{2+}}]=-0.296\ \mathrm {V}$ (substituting $T=298K$, the same applies below)

<Checkpoint>[$E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=-0.296\ \mathrm {V}$](1)</Checkpoint>

Now discuss the positive electrode. Given $ E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) = 1 . 4 5 8 \ \mathrm { V } $, corresponding to the half-reaction equation $\mathrm{PbO_2(s)+4H^{+}(aq)+2e^{-}=Pb^{2+}(aq)+2H_2O(l)}$, then $E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) +\frac{RT}{2F}ln\frac{[H^+]^4}{[Pb^{2+}]}$

Similarly, $[\mathrm{Pb^{2+}}]=1.8\times 10^{-6} \ \mathrm{mol/L}$

Substitute into $E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) +\frac{RT}{2F}ln\frac{[H^+]^4}{[Pb^{2+}]}=1.62\ \mathrm {V}$

<Checkpoint>[$E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=1.61\ \mathrm {V}$](1)</Checkpoint>

Therefore, the electromotive force is $1.62-(-0.296)=1.92 \ (\mathrm {V})$

<Checkpoint>[The electromotive force is closer to $1.9\ \mathrm {V}$](0.5)</Checkpoint>
这是一道物理化学题目，考察电化学中能斯特方程的计算。

先写出正负极半反应：

负极： $\mathrm { P b } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - }$ 

正极： $\mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) + 3 \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - } \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + 2 \mathrm { H_2O } \left( \mathrm { l } \right)$

<Checkpoint>[负极： $\mathrm { P b } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - }$ ](0.5)</Checkpoint>

<Checkpoint>[正极： $\mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } \left( \mathrm { s } \right) + \mathrm { H S O } _ { 4 } ^ { - } \left( \mathrm { a q } \right) + 3 \mathrm { H } ^ { + } \left( \mathrm { a q } \right) + 2 \mathrm { e } ^ { - } \rightarrow \mathrm { P b } \mathrm { S O } _ { 4 } \left( \mathrm { s } \right) + 2 \mathrm { H_2O } \left( \mathrm { l } \right)$](0.5)</Checkpoint>

首先对负极进行讨论。已知$E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } ) = -0 . 1 2 6 6 \ \mathrm { V } $，对应半反应方程式$\mathrm{Pb^{2+}(aq)+2e^-=Pb(s)}$，则$E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } )+\frac{RT}{2F}ln[\mathrm{Pb^{2+}}]$

下求解$[\mathrm{Pb^{2+}}]$：

$[\mathrm{Pb^{2+}}]=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})}{\mathrm{[SO_4^{2-}]}}$

又$\mathrm{[SO_4^{2-}]=\frac{K_{a2}[HSO_4^-]}{[H^+]}=1.0\times 10^{-2}\ \ mol/L}$

<Checkpoint>[$\mathrm{[SO_4^{2-}]=1.0\times 10^{-2}\ \ mol/L}$](1)</Checkpoint>

代入$\mathrm{[\mathrm{Pb^{2+}}]=\frac{K_{sp}(\mathrm{PbSO_4})}{\mathrm{[SO_4^{2-}]}}=\frac{1.8\times 10^{-8}}{1.0\times 10^{-2}}=1.8\times 10^{-6} \ \ mol/L}$

<Checkpoint>[$\mathrm{[\mathrm{Pb^{2+}}]=1.8\times 10^{-6} \ \ mol/L}$](1)</Checkpoint>

则$E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } ^ { 2 + } / \mathrm { P b } )+\frac{RT}{nF}ln[\mathrm{Pb^{2+}}]=-0.296\ \mathrm {V}$（代入$T=298K$，后同）

<Checkpoint>[$E^\circ(\mathrm{PbSO_4/Pb})=-0.296\ \mathrm {V}$](1)</Checkpoint>

下面对正极进行讨论。已知$ E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) = 1 . 4 5 8 \ \mathrm { V }$，对应半反应方程式$\mathrm{PbO_2(s)+4H^{+}(aq)+2e^{-}=Pb^{2+}(aq)+2H_2O(l)}$，则$E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) +\frac{RT}{2F}ln\frac{[H^+]^4}{[Pb^{2+}]}$

同理，$[\mathrm{Pb^{2+}}]=1.8\times 10^{-6} \ \mathrm{mol/L}$

代入，$E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=E ^ { \circ } ( \mathrm { P b } \mathrm { O } _ { 2 } / \mathrm { P b } ^ { 2 + } ) +\frac{RT}{2F}ln\frac{[H^+]^4}{[Pb^{2+}]}=1.62\ \mathrm {V}$

<Checkpoint>[$E^\circ(\mathrm{PbO_2/PbSO_4})=1.62\ \mathrm {V}$](1)</Checkpoint>

因此，电动势为$1.62-(-0.296)=1.92 \ (\mathrm {V})$

<Checkpoint>[电动势与$1.9\ \mathrm {V}$更接近](0.5)</Checkpoint>