Known are the following data:

$\mathrm{H_2CrO_4(aq) \rightarrow H^+(aq) + HCrO_4^-(aq)} $  $K_1 = 4.10$

$\mathrm{HCrO_4^-(aq) \rightarrow H^+(aq) + CrO_4^{2-}(aq)} $  $K_2 = 3.16×10^{-7}$

$\mathrm{PbCrO_4(s)  \rightarrow Pb^{2+}(aq) + CrO_4^{2-}(aq)}$  $K_3 = 2.80×10^{-13}$

$\mathrm{Pb(OH)_2(s) \rightarrow Pb^{2+}(aq) + 2OH^-(aq)}$  $K_4 = 1.42×10^{-20}$

$\mathrm{Cr_2O_7^{2-}(aq) + H_2O(l) \rightarrow 2HCrO_4^-(aq)}$  $K_5 = 6.31×10^{-3}$

Excess $\mathrm{PbCrO_4(s)}$ is added to pure water, and solution equilibrium is reached.

Please calculate the following questions in order:

1. The concentration of $\mathrm{H_2CrO_4}$ in the solution in units of $\mathrm{mol·L^{-1}}$.
2. The solubility of $\mathrm{PbCrO_4(s)}$, expressed in terms of $\mathrm{Cr}$ element, in units of $\mathrm{mol·L^{-1}}$.
3. At this time, the relationship between the amount of substance of $\mathrm{Pb(OH)_2(s)}$ and the volume of water satisfies a direct proportional function $n=aV$, where $n$ is the amount of substance (in units of $\mathrm{mol}$), and $V$ is the volume of water (in units of $\mathrm{L}$). Give the coefficient $a$ (no need to give units).

The following options give possible answers to questions 1, 2, and 3 in order. The units have already been given in the questions. Choose the closest option.
已知如下的数据：

$\mathrm{H_2CrO_4(aq) \rightarrow H^+(aq) + HCrO_4^-(aq)} $  $K_1 = 4.10$

$\mathrm{HCrO_4^-(aq) \rightarrow H^+(aq) + CrO_4^{2-}(aq)} $  $K_2 = 3.16×10^{-7}$

$\mathrm{PbCrO_4(s)  \rightarrow Pb^{2+}(aq) + CrO_4^{2-}(aq)}$  $K_3 = 2.80×10^{-13}$

$\mathrm{Pb(OH)_2(s) \rightarrow Pb^{2+}(aq) + 2OH^-(aq)}$  $K_4 = 1.42×10^{-20}$

$\mathrm{Cr_2O_7^{2-}(aq) + H_2O(l) \rightarrow 2HCrO_4^-(aq)}$  $K_5 = 6.31×10^{-3}$

在纯水中放入过量的 $\mathrm{PbCrO_4(s)}$，达成了溶液平衡。

请依次计算一下问题：

1. 单位为 $\mathrm{mol·L^{-1}}$ 的溶液中 $\mathrm{H_2CrO_4}$ 的浓度
2. 以 $\mathrm{Cr}$ 元素计的单位为 $\mathrm{mol·L^{-1}}$ 的 $\mathrm{PbCrO_4(s)}$ 的溶解度。
3. 此时 $\mathrm{Pb(OH)_2(s)}$ 的物质的量与水的体积的关系满足正比例函数 $n=aV$，$n$ 为物质的量（单位为 $\mathrm{mol}$），$V$ 为水的体积（单位为 $\mathrm{L}$），给出系数 $a$（不需要给出单位）。

下列选项依次给出了1、2、3问的可能答案，单位已经在问题中给出，选择最接近的一个选项。
$1.82×10^{-14}, 1.67×10^{-6}, 8.47×10^{-15}$
$3.57×10^{-11}, 6.07×10^{-7}, 8.13×10^{-7}$
$1.52×10^{-15}, 5.81×10^{-7}, 2.48×10^{-9}$
$3.02×10^{-7}, 1.67×10^{-6}, 8.47×10^{-15}$
$4.10×10^{-15}, 6.58×10^{-7}, 4.0×10^{-9}$
$2.01×10^{-15}, 5.83×10^{-7}, 4.2×10^{-9}$
$1.82×10^{-14}, 1.67×10^{-6}, 8.47×10^{-15}$
$3.57×10^{-11}, 6.07×10^{-7}, 8.13×10^{-7}$
$1.52×10^{-15}, 5.81×10^{-7}, 2.48×10^{-9}$
$3.02×10^{-7}, 1.67×10^{-6}, 8.47×10^{-15}$
$4.10×10^{-15}, 6.58×10^{-7}, 4×10^{-9}$
$2.01×10^{-15}, 5.83×10^{-7}, 4.2×10^{-9}$
The charge conservation equation:  

$$
[H^+]+2[Pb^{2+}]=[OH^-]+[HCrO_4^-]+2[CrO_4^{2-}]+2[Cr_2O_7^{2-}]
$$

<Checkpoint>[$[H^+]+2[Pb^{2+}]=[OH^-]+[HCrO_4^-]+2[CrO_4^{2-}]+2[Cr_2O_7^{2-}]$](1)</Checkpoint>  

$$
[H_2CrO_4] = (K_3K_w^2) / (K_1K_2K_4) = (2.80×10^{-13}×10^{-14×2}) / (4.10×3.16×10^{-7}×1.42×10^{-20}) = 1.52×10^{-15}
$$

<Checkpoint>[$[H_2CrO_4] = 1.52×10^{-15}$](3)</Checkpoint>  

Substituting the expressions of the equilibrium constants into the charge conservation equation, it is rewritten as:  

$$
[H^+]+(2K_4[H^+]^2)/K_w^2 = K_w / [H^+] + (K_1[H_2CrO_4])/[H^+]+(2K_1K_2[H_2CrO_4])/[H^+]^2+(2K_1^2[H_2CrO_4]^2)/(K_5[H^+]^2)
$$

Solving the above equation yields: $[H^+]=6.39×10^{-8} mol·L^{-1}$  

<Checkpoint>[$[H^+]=6.39×10^{-8} mol·L^{-1}$](3)</Checkpoint>  

The solubility of $PbCrO_4$, measured by the total chromium concentration in the solution, is given by:  

$$
c=[H_2CrO_4]+[HCrO_4^-]+[CrO_4^{2-}]+2[Cr_2O_7^{2-}]  
=[H_2CrO_4]+(K_1[H_2CrO_4])/[H^+]+(K_1K_2[H_2CrO_4])/[H^+]^2+   
(2K_1^2[H_2CrO_4]^2)/(K_5[H^+]^2)=5.81×10^{-7} mol·L^{-1}
$$

<Checkpoint>[$c=5.81×10^{-7} mol·L^{-1}$](3)</Checkpoint>  

The concentration of $Pb(OH)_2$ equals the concentration of dissolved $Pb$ (i.e., solubility $c$) minus the concentration of $Pb^{2+}$, leading to the following equation:  

$$
[Pb(OH)_2]=c-[Pb^{2+}]=c-(K_4[H^+]^2)/K_w^2=2.48×10^{-9} mol·L^{-1}
$$

<Checkpoint>[$ [Pb(OH)_2]=c-[Pb^{2+}]=c-(K_4[H^+]^2)/K_w^2=2.48×10^{-9} mol·L^{-1} $](1)</Checkpoint>  

Thus, the functional relationship is:  

$$
a=2.48×10^{-9}
$$

<Checkpoint>[$a=2.48×10^{-9}$](1)</Checkpoint>
电荷守恒式：

$$
\mathrm{[H^+]+2[Pb^{2+}]=[OH^-]+[HCrO_4^-]+2[CrO_4^{2-}]+2[Cr_2O_7^{2-}]}
$$

<Checkpoint>[$\mathrm{[H^+]+2[Pb^{2+}]=[OH^-]+[HCrO_4^-]+2[CrO_4^{2-}]+2[Cr_2O_7^{2-}]}$](1)</Checkpoint>

$$
[\mathrm{H_2CrO_4}] = (K_3K_w^2) / (K_1K_2K_4) = (2.80×10^{-13}×10^{-14×2}) / (4.10×3.16×10^{-7}×1.42×10^{-20}) = 1.52×10^{-15}
$$

<Checkpoint>[$[\mathrm{H_2CrO_4}] = 1.52×10^{-15}$](3)</Checkpoint>

将各平衡常数的表达式代入电荷守恒式，改写为：

$$
[\mathrm{H^+}]+(2K_4[\mathrm{H^+}]^2)/K_w^2 = K_w / [\mathrm{H^+}] + (K_1[\mathrm{H_2CrO_4}])/[\mathrm{H^+}]+(2K_1K_2[\mathrm{H_2CrO_4}])/[\mathrm{H^+}]^2+(2K_1^2[\mathrm{H_2CrO_4}]^2)/(K_5[\mathrm{H^+}]^2)
$$

解以上方程得：$[\mathrm{H^+}]=6.39×10^{-8}~\mathrm{mol·L^{-1}}$

<Checkpoint>[$[\mathrm{H^+}]=6.39×10^{-8}~ \mathrm{mol·L^{-1}}$](3)</Checkpoint>

$\mathrm{PbCrO_4}$ 溶解度以铬元素浓度计，即求溶液中铬元素的总浓度c：

$$
c=[\mathrm{H_2CrO_4}]+[\mathrm{HCrO_4^-}]+[\mathrm{CrO_4^{2-}}]+2[\mathrm{Cr_2O_7^{2-}}]
=[\mathrm{H_2CrO_4}]+(K_1[\mathrm{H_2CrO_4}])/[\mathrm{H^+}]+(K_1K_2[\mathrm{H_2CrO_4}])/[\mathrm{H^+}]^2+   
(2K_1^2[\mathrm{H_2CrO_4}]^2)/(K_5[\mathrm{H^+}]^2)=5.81×10^{-7} ~\mathrm{mol·L^{-1}}
$$

<Checkpoint>[$c=5.81×10^{-7} ~\mathrm{mol·L^{-1}}$](3)</Checkpoint>

$\mathrm{Pb(OH)_2}$ 的浓度等于溶解的 $\mathrm{Pb}$ 的浓度（即溶解度 $c$）减去 $\mathrm{Pb^2+}$ 的浓度，因此有以下等式：

$$
[\mathrm{Pb(OH)_2}]=c-[\mathrm{Pb^{2+}}]=c-(K_4[\mathrm{H^+}]^2)/K_w^2=2.48×10^{-9} ~\mathrm{mol·L^{-1}}
$$

<Checkpoint>[$ [\mathrm{Pb(OH)_2}]=c-[\mathrm{Pb^{2+}}]=c-(K_4[\mathrm{H^+}]^2)/K_w^2=2.48×10^{-9} ~\mathrm{mol·L^{-1}} $](1)</Checkpoint>

故函数关系为：

$$
a=2.48×10^{-9}
$$

<Checkpoint>[$a=2.48×10^{-9}$](1)</Checkpoint>