Signs in Homotopy Combinatorics
Independent Research Fund Denmark
KU - SCIENCE - NBI
De elementære aritmetiske operationer med naturlige tal, såsom addition, multiplikation og eksponentiering, er blot skygger af mere fundamentale operationer med endelige mængder, nemlig disjunkt forening, cartesisk produkt, og funktionsmængder. Det er interessant at udføre så mange konstruktioner som muligt med endelige mængder i stedet for tal, fordi mængdeoperationerne kan karakteriseres ved universelle egenskaber og kan bære yderligere struktur, hvilket ikke er muligt på tal-niveau. Projektet søger at besvare det grundlæggende spørgsmål: hvilke kombinatoriske objekter svarer til negative tal? Hvilke mængde-lignende objekter kan siges at have et negativt antal elementer? Ligesom negative tal kan betragtes som ren abstraktion, er idéen at udføre en lignende abstraktion på objekt-niveau. Løsningen skal søges i kategori-teori, den generelle matematiske teori om strukturer, hvor objekter karakteriseres efter hvordan de relaterer til hinanden snarere end hvad de "er". Ved at analysere de nødvendige kategoriske egenskaber ved endelige mængder og de mekanismer der fører til negative tal (især i disciplinerne kombinatorik og homotopi-teori), er målet syntetisk at skabe en koherent teori for "mængder med fortegn", og påvise hvordan elementær kombinatorik kan udøves i den ramme. En sådan teori vil have store anvendelsesmuligheder overalt i matematikken hvor kombinatoriske strukturer spiller sammen med negative størrelser.
Research Projects (Max 10 MDKK) / DFF-Forskningsprojekt1 / grant